信息技术环境下数学问题解决教学探究
王光生
北京师范大学现代教育技术研究所
一、现场调查与现状反思
（一)现场调查
请就您个人的理解简要回答以下三个问题：
什么是数学？
什么是数学学习？什么又是数学教学？
什么是数学教育的根本目标？
（二)现状反思
“题题教师的法宝，分分学生的命根！”
“请给我题目吧，除了做题我什么都不会！”
请诸君欣赏一首诗：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数是难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！
——华罗庚
二、数学教育理念
数学模式是对客观对象的结构特征和量化属性的形象深刻而又简洁的描述，是对事物的量化本质的认识。“无论是数学中的概念和命题，或是问题和方法，事实上都应该看成是一种具有普遍意义的模式，从而，从总体上说，数学就应被说成是‘模式的科学’”。数学学习是发现模式、建立模式、应用模式的过程。
“重要的不是获得知识，而是发展思维能力。教育无非是把一切已学过的东西都忘掉的时候所剩下的东西。”这种剩下的东西就是数学素质，其核心是数学思维能力。“探索是数学的生命线。”那么如何引导学生通过“探索”获得数学思维能力呢？
知识源于思维，思维源于探究，探究源于问题，问题源于情境。问题是科学研究的出发点，是开启任何一门科学的钥匙。没有问题就不会有解释问题和解决问题的思想、方法和知识，所以说，问题是思想方法、知识积累和发展的逻辑力量，是生长新思想、新方法、新知识的种子。学生学习同样必须重视问题的作用。现代教学论研究指出，从本质上讲，感知不是学习产生的根本原因(尽管学生学习是需要感知的)，产生学习的根本原因是问题。没有问题也就难以诱发和激起求知欲，没有问题，感觉不到问题的存在，学生也就不会去深入思考，那么学习也就只能是表层和形式的。所以新课程学习方式特别强调问题在学习活动中的重要性。一方面强调通过问题来进行学习，把问题看作是学习的动力、起点和贯穿学习过程中的主线；另一方面通过学习来生成问题，把学习过程看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。而问题解决学习过程也就是学生借助已有知识经验的行为、认知、情感投入过程，也就是通过多样化的活动发现模式、建立模式和应用模式的过程，
三、Web-based MPSL模型
四、信息技术环境下数学问题解决教学形式体系— “环境”的视角
五、 数学教育软件的数学功能
数值计算与符号运算功能
数学对象的多重表示功能
所谓数学对象的多重表示，其思想是对同一概念使用多种表示方法，不同的表示法侧重于概念的不同方面：解析的、图形的及数值的；静态的或动态的；分解的或整体的；定性的或定量的等等。如函数绘图及参数绘图方面，它把“数”与“形”客观地联系起来，更能揭示数学概念的本质。
数学图形（或图像）的动态显示与交互功能
按照双重编码理论，造成数学知识的学习和记忆困难的主要原因在于数学语言和符号具体性差，不容易唤起视觉映像。数学图形（或图像）的动态显示与操作能减少这样的困难。其中对图形的动态交互操作可以支持学生进行实验、猜想和发现。(工具作图与尺规作图）
数据统计与分析功能
数学教学过程中，我们应该注重现实世界与数学的联系，要能让学生体会数学形式化的过程。客观世界是纷繁复杂的，教育软件要能够帮助学生收集、处理复杂的数据，从中寻找数学规律。利用这个功能，可以减少教师主观拼揍数据的行为，不仅能让学生体会到处理这些数据的现实与数学意义，而且能吸引学生投入其中。
六、数学教育软件的教学价值
节约时间
在中小学甚至大学的数学学习中，学生有相当一部分时间（1/2甚至2/3）是用来进行运算和绘图的，其中绝大多数都是程序性的，也就是说，只要学生按照固定的步骤就一定可以得出运算结果或绘出图形来。如果说在一开始让学生进行运算和绘图有助于对算理和绘图方法的理解，那么当学生已经熟习这些方法后，仍然让学生反复地进行运算和绘图，其意义就非常有限了。而实际上，在学生的数学学习中，他们不得不将很大一部分时间和精力用于这些几乎没有任何意义的工作上面。而对于教师来说，在数学的课堂教学中也有类似的情况。
利于观察与实验，促进抽象与概括
利用教育软件可以列举更多的关于数学概念、规则或问题的特例或做连续性的性质变化，有利于对模式或关系的观察、猜想、验证。更为重要的是，随着计算机软件技术的发展，这些观察与实验不再是单调的数值形式，更多的是基于可视化的数学对象，这样可使学生能在更高抽象层次上进行观察与实验，以减轻工作记忆负担，促进数学知识的“垂直增长”。
可实现数学知识的多种表征方法及其之间的联系
知识的“水平增长”特别是对数学知识的理解，需要掌握更多的不同的表征法及相互的联系，教育软件可以很容易地把公式、表格、图形（或图像）联系在一起，并且在对其中一种表示法进行操作时，能够看出对其它相关表示法所产生的作用。
可以提供及时、可靠的操作反馈
数学教育软件可以对操作以事先规定的方式做出符合数学规律的反应，因此学生可以大胆地猜想、检验自己的判断，并通过多次反馈，来修正自己的观点，以提高其自主学习的能力和元认知水平。
可以构建探索式的数学学习环境
数学的学习活动比其它学科的学习有更高的抽象性，是人类高层次学习的典型，学生必须积极思考、主动建构知识。不少数学教育软件能提供给学生猜想、验证、探究的环境，甚至在已提供的数学对象及操作规则的基础上能自定义操作规则，从而构造出新的数学对象、算法或结论。另一方面，可探索式的学习环境还能够产生大量的随附知识，这些都有利于数学问题的解决及创造力的培养
提高学生解决数学问题的能力
利用数学教育软件可以使学生解决数学问题的能力得以扩展，学生可以解决一些真正的、实际的数学问题。在使用纸笔的条件下，学生解决数学问题的能力受到很大限制，因为许多问题的解决会超出学生的能力。中小学数学教学中学生所获得的数学方法实际上主要是用来解决“标准”的或常规的数学问题的，所以，有些数学题目对于学生来说并没有什么恰当的方法，尽管这些题目本身似乎相当简单，学生应该能够解决。但如果要让学生用纸和笔来解决的话，往往要使用更高级的数学知识，并且其计算也是很复杂的。
七、 数学教育软件对数学学习活动的支持水平
静态演示
指为了引起学生对知识背景的简单了解，或者是为了增加课题容量、开阔视野、节省教学时间等目的，教师使用计算机展示大量事实性材料和结论，或者演示例题或练习的题目等．此时计算机的作用与挂图、幻灯等静态媒体相当，学生只需被动地听、看、记就可以了，教学信息是以结论性知识形式由教师（或媒体）向学生单向传播的。
动态演示
即教师借助技术手段按照固定流程解释、验证所提出的数学知识、结论，促进学生对数学知识、概念及原理的理解．此时已体现一定的“过程性”但学生仍然只是在观看教师呈现的个别例证。
数学实验
即利用计算机根据或隐或显的参数进行“任意性”实验，吸引学生探索、验证或者修改自己的猜想、并最终解决问题和动态生成自己的理解．这是一种“归纳式”的学习．
显然，3 种水平中之间有一定的递进关系：计算机对于学生思维活动的作用点逐步由外部（视觉刺激）转向内部（猜想与验证），学生学习的参与性、主动性、探究性也越来越强．
八、数学实验类型与案例分析
验证式实验
验证、检测由已经学过的相关知识推导出的结论的正误性，以便增强自信或者发现谬误
模拟式实验
对于数学中的有些问题，由于其动态的复杂性和客观条件的限制，无法在静观或想象中完成对他的刻画，借助计算机软件的强大动画功能，尽可能真实地创造一种实验环境，在这种环境中重现所要描述的客观数学现象，从而对这种现象的某些规律作出描述、判断和预测。如函数问题、轨迹问题等等都可以采用模拟式实验进行。
操作理解式实验
指在人为干预控制实验对象的条件下进行观察、测试、度量、计算、归纳等，并从中发现数学现象或真理，以深刻理解数学概念、原理等。
探索建构式实验
指在前三类实验的基础上进一步拓展探究范围，通过观察、测量、计算、归纳、类比、猜想等活动来建立具有一定层次结构的数学思维方式和高层次的数学模式。完善认知结构和提高数学素养。
国际学习科学研究领域有三句名言：
“you hear, you forget”（听来的忘得快）
“you see, you remember”（看到的记得住)
“you do, you understand”（做过的才能会）