第1课时 集合

教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课 型：新授课

教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

教学重点：集合的基本概念与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；

教学过程：

1. 引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本p₂-p₃内容

2. 新课教学

（一）集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3. 思考1：课本p₃的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4. 关于集合的元素的特征

（1）确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是a的元素，或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样

5. 元素与集合的关系；

（1）如果a是集合a的元素，就说a属于（belongto）a，记作a∈a

（2）如果a不是集合a的元素，就说a不属于（notbelong to）a，记作aa（或a a）（举例）

6. 常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作n

正整数集，记作n^*或n₊；

整数集，记作z

有理数集，记作q

实数集，记作r

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x²，3x+2，5y³-x，x²+y²}，…；

例1．（课本例1）

思考2，引入描述法

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

2. 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x²+1}，{直角三角形}，…；

例2．（课本例2）

说明：（课本p₅最后一段）

思考3：（课本p₆思考）

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y=x²+3x+2}与 {y|y=x²+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集z。

辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{r}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（三）课堂练习（课本p₆练习）

3. 归纳小结

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

4. 作业布置

书面作业：习题1.1，第1-4题

第2课时集合间的基本关系

教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系

了解空集的含义

课 型：新授课

教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用venn图表达集合间的关系；

（4）了解与空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；

教学过程：

1. 引入课题

1. 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：

（1）0 n；（2） q；（3）-1.5 r

2. 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）

2. 新课教学

1. 集合与集合之间的“包含”关系；

a={1，2，3}，b={1，2，3，4}

集合a是集合b的部分元素构成的集合，我们说集合b包含集合a；

如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合a是集合b的子集（subset）。

记作：

读作：a包含于（iscontained in）b，或b包含（contains）a

当集合a不包含于集合b时，记作a b

用venn图表示两个集合间的“包含”关系

2. 集合与集合之间的 “相等”关系；

，则中的元素是一样的，因此

即

练习

结论：

任何一个集合是它本身的子集

3. 真子集的概念

若集合，存在元素，则称集合a是集合b的真子集（propersubset）。

记作：a b（或ba）

读作：a真包含于b（或b真包含a）

举例（由学生举例，共同辨析）

4. 空集的概念

（实例引入空集概念）

不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：

规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

5. 结论：

，且，则

6. 例题

（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）化简集合a={x|x-3>2},b={x|x5}，并表示a、b的关系；

7. 课堂练习

8. 归纳小结，强化思想

两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；

9. 作业布置

1. 书面作业：习题1.1 第5题

2. 提高作业：

已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。

设集合，

，试用venn图表示它们之间的关系。

第3课时集合的基本运算

教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课 型：新授课

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

教学过程：

1. 引入课题

我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？

思考（p₉思考题），引入并集概念。

2. 新课教学

1. 并集

一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，称为集合a与b的并集（union）

记作：a∪b 读作：“a并b”

即： a∪b={x|x∈a，或x∈b}

venn图表示：

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合a与b的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

例题（p_9-10例4、例5）

说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

问题：在上图中我们除了研究集合a与b的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合a与b的交集。

2. 交集

一般地，由属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合，叫做集合a与b的交集（intersection）。

记作：a∩b 读作：“a交b”

即： a∩b={x|∈a，且x∈b}

交集的venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合a与b的公共元素组成的集合。

例题（p_9-10例6、例7）

拓展：求下列各图中集合a与b的并集与交集

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

3. 补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe），通常记作u。

补集：对于全集u的一个子集a，由全集u中所有不属于集合a的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集（complementaryset）,简称为集合a的补集，

记作：c_ua 即：c_ua={x|x∈u且x∈a}

补集的venn图表示

说明：补集的概念必须要有全集的限制

例题（p₁₂例8、例9）

4. 求集合的并、交、 补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5. 集合基本运算的一些结论：

a∩ba，a∩bb，a∩a=a，a∩=,a∩b=b∩a

aa∪b，ba∪b，a∪a=a，a∪=a,a∪b=b∪a

（c_ua）∪a=u，（c_ua）∩a=

若a∩b=a，则ab，反之也成立

若a∪b=b，则ab，反之也成立

若x∈（a∩b），则x∈a且x∈b

若x∈（a∪b），则x∈a，或x∈b

6. 课堂练习
   （1）设a={奇数}、b={偶数}，则a∩z=a，b∩z=b，a∩b=
   （2）设a={奇数}、b={偶数}，则a∪z=z，b∪z=z，a∪b=z
   
   

3. 归纳小结（略）

4. 作业布置

3. 书面作业：p₁₃习题1.1，第6-12题

4. 提高内容：

1. 已知x={x|x²+px+q=0，p²-4q>0},a={1,3,5,7,9},b={1,4,7,10}，且

，试求p、q；

2. 集合a={x|x²+px-2=0},b={x|x²-x+q=0},若ab={-2，0，1}，求p、q；

3. a={2，3，a²+4a+2}，b={0，7，a²+4a-2，2-a}，且ab ={3，7}，求b