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    1课时 集合

    教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。

    课 型:新授课

    教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于”关系;

    2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;

    教学重点:集合的基本概念与表示方法;

    教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合;

    教学过程

    1. 引入课题

    军训前学校通知:8158点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?

    在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。

    阅读课本p2-p3内容

    1. 新课教学

    (一)集合的有关概念

    1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

    2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。

    3. 思考1:课本p3的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。

    4. 关于集合的元素的特征

    1)确定性:设a是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是a的元素,或者不是a的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。

    2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。

    3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样

    1. 元素与集合的关系;

    1)如果a是集合a的元素,就说a属于(belongtoa,记作a∈a

    2)如果a不是集合a的元素,就说a不属于(notbelong toa,记作aa(或a a)(举例)

    1. 常用数集及其记法

    非负整数集(或自然数集),记作n

    正整数集,记作n*n+

    整数集,记作z

    有理数集,记作q

    实数集,记作r

    (二)集合的表示方法

    我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

    1. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。

    如:{12345}{x23x+25y3-xx2+y2},…;

    1.(课本例1

    思考2,引入描述法

    说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

    1. 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。

    具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

    如:{x|x-3>2}{(x,y)|y=x2+1}{直角三角形},…;

    2.(课本例2

    说明:(课本p5最后一段)

    思考3:(课本p6思考)

    强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
    {(x,y)|y=x2+3x+2}{y|y=x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集z

    辨析:这里的{}已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}{r}也是错误的。

    说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。

    (三)课堂练习(课本p6练习)

    1. 归纳小结

    本节课从实例入手,非常自然贴切地引出集合与集合的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明,然后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。

    1. 作业布置

    书面作业:习题1.1,第1-4

    2课时集合间的基本关系

    教材分析:类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系

    了解空集的含义

    课 型:新授课

    教学目的:(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义;

    2)理解子集、真子集的概念;

    3)能利用venn图表达集合间的关系;

    4)了解与空集的含义。

    教学重点:子集与空集的概念;用venn图表达集合间的关系。

    教学难点:弄清元素与子集、属于与包含之间的区别;

    教学过程

    1. 引入课题

    1. 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白:

    10 n;(2 q;(3-1.5 r

    1. 类比实数的大小关系,如5<72≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣布课题)

    1. 新课教学

    1. 集合与集合之间的“包含”关系;

    a={123}b={1234}

    集合a是集合b的部分元素构成的集合,我们说集合b包含集合a

    如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合a是集合b的子集(subset)。

    记作:

    读作:a包含于(iscontained inb,或b包含(containsa

    当集合a不包含于集合b时,记作a b

    venn图表示两个集合间的“包含”关系



    1. 集合与集合之间的 “相等”关系;

    ,则中的元素是一样的,因此

    练习

    结论:

    任何一个集合是它本身的子集

    1. 真子集的概念

    若集合,存在元素,则称集合a是集合b的真子集(propersubset)。

    记作:a b(或ba

    读作:a真包含于b(或b真包含a

    举例(由学生举例,共同辨析)

    1. 空集的概念

    (实例引入空集概念)

    不含有任何元素的集合称为空集(emptyset),记作:

    规定:

    空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

    1. 结论:

    ,且,则

    1. 例题

    1)写出集合{ab}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。
    2)化简集合a={x|x-3>2},b={x|x5},并表示ab的关系;

    1. 课堂练习

    2. 归纳小结,强化思想

    两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法;

    1. 作业布置

    1. 书面作业:习题1.1 5

    2. 提高作业:

    已知集合,≥,且满足,求实数的取值范围。

    设集合,

    ,试用venn图表示它们之间的关系。

    3课时集合的基本运算

    教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集;

    2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能用venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。

    课 型:新授课

    教学重点:集合的交集与并集、补集的概念;

    教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”;

    教学过程

    1. 引入课题

    我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算,两个集合是否也可以“相加”呢?

    思考(p9思考题),引入并集概念。

    1. 新课教学

    1. 并集

    一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,称为集合ab并集(union

    记作:a∪b 读作:“ab”

    即: a∪b={x|x∈a,或x∈b}

    venn图表示:


    说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合ab的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素)。

    例题(p9-104、例5

    说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

    问题:在上图中我们除了研究集合ab的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的,我们称其为集合ab的交集。

    1. 交集

    一般地,由属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合,叫做集合ab交集(intersection

    记作:a∩b 读作:“ab”

    即: a∩b={x|∈a,且x∈b}

    交集的venn图表示


    说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合ab的公共元素组成的集合。

    例题(p9-106、例7

    拓展:求下列各图中集合ab的并集与交集



    说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集

    1. 补集

    全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe,通常记作u

    补集:对于全集u的一个子集a,由全集u中所有不属于集合a的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集(complementaryset,简称为集合a的补集,

    记作:cua 即:cua={x|x∈ux∈a}

    补集的venn图表示


    说明:补集的概念必须要有全集的限制

    例题(p128、例9

    1. 求集合的并、交、 补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。

    2. 集合基本运算的一些结论:

    a∩baa∩bba∩a=aa∩=,a∩b=b∩a

    aa∪bba∪ba∪a=aa∪=a,a∪b=b∪a

    cua)∪a=u,(cua)∩a=

    a∩b=a,则ab,反之也成立

    a∪b=b,则ab,反之也成立

    x∈a∩b),则x∈ax∈b

    x∈a∪b),则x∈a,或x∈b

    1. 课堂练习
      1)设a={奇数}b={偶数},则a∩z=ab∩z=ba∩b=
      2)设a={奇数}b={偶数},则a∪z=zb∪z=za∪b=z

    1. 归纳小结(略)

    2. 作业布置

    1. 书面作业:p13习题1.1,第6-12

    2. 提高内容:

    1. 已知x={x|x2+px+q=0p2-4q>0},a={1,3,5,7,9},b={1,4,7,10},且

    ,试求pq

    1. 集合a={x|x2+px-2=0},b={x|x2-x+q=0},ab={-201},求pq

    2. a={23a2+4a+2}b={07a2+4a-22-a},且ab ={37},求b


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