一次函数的图像及其性质
  • 课程信息

点评人:王光生

  • 活动过程设计与分析

1.函数图像的概念

教师活动:函数是研究变量之间关系的数学模型,在实际生活中,这种变化关系不仅需要借助数学关系式来表达,同时更需要借助图形来直观的呈现,为此就需要研究函数的图像。函数图像不仅可以直观表征变量之间的关系,而且是人们认识函数性质的窗口。那么如何定义函数的图像呢?为此,请同学们先利用图形计算器画一个函数 的图像,并利用图形计算器的跟踪(trace)功能感知函数图像的形成过程。通过操作你能发现函数图像是如何形成的吗?你能否给出函数图像的概念?

学生活动:利用图形计算器画出函数图像,并利用跟踪功能感知体会函数图像的形成过程,归纳函数图像的定义。

在学生归纳总结和教师点拨提炼的基础上形成函数图像的定义:把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。

如图1所示动态地展示了函数 图像的形成过程,学生可以真实地看到函数的图像实质上是由无数多个满足函数关系式的动点组成的图形。

设计意图:让学生明确学习函数图像的意义,并通过亲自操作感知函数图像形成的过程。图形计算器使得学习内容静态变动态,抽象变形象,学生可以真正地看到点的运动过程和曲线的形成过程。图形计算器为学生观察现象、发现结论、探讨问题提供了理想的工具与环境。

2.函数图像的画法

教师活动1我们已经知道函数图像实质上是由直角坐标平面内满足函数关系的无数个点组成的图形,那么如何在直角坐标平面内找到这些点?需要找多少个点?怎样利用这些点画出函数的图像?

学生活动1自主思考,合作交流,形成共识。

设计意图1以问题为驱动,以问题探索为形式,以实际问题解决为目的,突出学生的认知主体地位,通过自主思考、合作交流明确画函数图像的基本思路,为下一步自己动手画出具体函数图像奠定基础。

教师活动2明确了画函数图像的基本思路,现在请同学们亲自动手画出一次函数y=2x+1的图像,并归纳总结出函数图像的画法。教师巡视收集反馈信息,适时点拨指导。

学生活动2手工绘制函数图像,并尝试归纳函数图像的画法:列表、描点、连线。

设计意图2尽管图形计算器能够迅速直接地画出函数图像,但传统的手工画函数图像的方法仍然是不可废弃的,因为学生可以从中理解函数图像生成的过程,形成必要的画图技能,而利用图形计算器学生只能看到画图的结果。同时希望借此过程学生能够归纳总结出函数图像的画法。

3.一次函数图像的特征

教师活动:

(1)一次函数y=2x+1的图像是一条直线,那么是否所有的一次函数的图像都是一条直线呢?请归纳一次函数y=kx+b图像的特点,并利用图形计算器验证你得出的结论。

(2)虽然一次函数y=kx+b图像都是一条直线,但这些直线与x轴正方向所成角的大小是不一样的,请你设计一个实验方案,利用图形计算器分别探索参数k与参数b对直线y=kx+b的影响,从中你能发现什么规律?

学生活动:

(1)学生手工绘制若干一次函数图像,提出猜想,并利用图形计算器快速作图功能验证自己的猜想,进而得出一次函数y=kx+b图像都是一条直线的结论。特殊地,正比例函数y=kx的图像是经过坐标原点(0,0)的一条直线。

(2)学生设计实验方案分别探索参数k和参数b对直线y=kx+b的影响,并从中总结规律。

如图2,利用图形计算器的动画(animate)功能学生可以清楚地看到当b=2时,参数k从-2连续变化到2时直线的变化趋势。类似地,也可以利用动画按钮处的选项将参数k换为参数b,观察当k值固定时,参数b值的变化对直线的影响。

         函数图像的动态形成过程            图2 含有参数的函数图像的动态变换过程

设计意图:基于计算机的图形计算器的使用正在改变传统数学的性质,数学既是演绎科学也是归纳科学。图形计算器的出现改变了数学只用纸和笔进行研究的传统方式,给学生的数学学习带来了最先进的工具,使得“数学实验”成为学生进行探究性学习的一种有效途经,一种新的做数学的方法,即主要通过计算机实验从事新的发现。图形计算器既是学生验证猜想的工具,更是学生进行探索实验的平台。此处渗透数学实验设计以及分类讨论等思想方法。

4.  一次函数的性质

教师活动:通过上面的探索实验,我们已经从图形直观的角度了解了一次函数图像的特征,而这些特征本质上是由函数本身具有的性质决定的,这充分体现了数学研究的基本思想方法——数形结合:“数无形时少直觉,形少数时难入微。”下面请同学们借助一次函数图像的特征,从函数表达式即“数”的角度归纳一次函数的性质,并填写下表。

一次函数的图像与性质

 

表达式

图像

性质

b=0

y=kx

k>0

 

 

k<0

 

 

b≠0

y=kx+b

k>0

 

 

k<0

 

 

 

学生活动:自主探究,合作交流,汇报结果。

设计意图:函数图像是认识函数性质的窗口。利用图形计算器可视化的优势,能够从数与形的结合上准确呈现出一次函数的图像怎样随参数的变化而变化,帮助学生在操作中体会图像与x轴正方向所成角的大小、与y轴的交点等与参数的内在联系,为数与图像关联的教与学提供了极大的便利。本环节正是希望学生在动手实验探索的基础上,进一步进行理性归纳,得出一次函数的性质,并能进行适当的解释。

5.拓展延伸,建构一次函数之间的关系

教师活动1由一次函数的性质可知,函数y=2x+6和y=5x随着x值的增大y的值也增大,请思考当x从0开始逐渐增大时,y=2x+6和y=5x哪一个的值先达到20?这说明什么?提出你的猜想,并用图形计算器验证你的猜想。

    学生活动1:自主思考,提出猜想,验证猜想,得出结论。

    设计意图1进一步让学生利用函数的性质,研究两个函数随着自变量x的增大,函数值变化的不同速度,渗透数形结合的思想、运动变化的观点以及所蕴含的单调函数的特征,为后续进一步学习函数性质奠定基础。

    教师活动2一次函数的图像都是一条直线,那么直线 的位置关系如何?直线 的位置关系又如何?从中你能得出什么结论?利用图形计算器验证你所能出的结论,并与同学进行交流。

    学生活动2学生手工绘制函数图像或用图形计算器画出函数图像(如图3,4),观察两条直线的位置关系,并提出猜想,验证猜想,得出结论:对于 ,当 时,两直线平行;当 时,两直线相交。反之,结论也成立。

    设计意图2这是一个操作、观察、归纳、猜想、验证的数学活动过程,通过两个函数图像的位置关系,得出函数表达式的特征;反过来,两个函数表达式的特征也决定了函数图像的位置关系。此环节有效地沟通了不同的一次函数之间的关系,进一步渗透了数形结合的数学思想方法,同时也为后续学习二元一次方程组奠定了良好的认知基础。图形计算器为数学思想方法的可视化以及进行“数学实验”提供了理想的工具与环境。

                                    

     3 两条直线的位置关系                        4 两条直线的位置关系

  • 专家点评

从上面的样例中可以看到,图形计算器的有效利用为克服学生函数学习中的困难提供了理想的工具与环境。主要体现在:

1.图形计算器的有效利用,不仅可以大大增强函数学习的直观性,克服思维发展水平的局限,提高学生学习的兴趣和教学效率,而且有利于改变学生的被动接受的学习方式,充分发挥学生的认知主体作用。如利用图形计算器生成各种初等函数图像,通过跟踪功能、自动列表功能、动画显示功能等多种表示方式呈现变量之间的相依关系,真实地再现函数图像的生成过程,加深学生对函数图像特征、函数概念本质及其性质的理解,使得 “多重表示与表示的相互转换” 这一重要函数学习理论的实现成为可能,即同一函数关系可以用四种不同的方式——列表、文字描述、图像、解析表达式来刻画。这为具有不同认知风格的学生或同一学生从不同角度理解函数的本质内涵提供了可能。

2.图形计算器为学生进行“数学实验”提供了理想的工具与环境。函数图像是学生认识函数性质的窗口,而图形计算器为学生进行各种类型函数图像特征的探索提供了理想的实验环境。为了探索函数的性质,学生可以借助图形计算器快速生成一些具体函数图像,通过观察图像特征,发现规律,提出猜想,而提出的猜想是否正确,又可以利用图形计算器进行验证,进而做出解释。特别是对于含有参数的函数解析式,参数的变化是如何影响函数图像的变化的?具有怎样的规律?利用传统的教学手段是难以取得理想效果的。图形计算器为进行类似的“探究性实验”提供了理想的平台。教师引导学生对要进行探究的问题设计实验方案,然后根据实验方案借助图形计算器进行实验、猜测、探索等数学发现活动,实现“数学教学是数学活动的教学”,实现函数学习的“再创造”过程,让学生亲身经历运用函数知识建立模型以及探索规律的过程,体验数学思想方法的价值,增强学好数学的信心,培养其科学探究和创新能力。

3.图形计算器更有利于学生从函数观点深入地探索方程(组)、不等式与函数之间的内在联系。函数、方程、不等式都是描述现实世界数量关系和变化规律的数学模型,它们之间既有区别又有联系,图形计算器的有效运用,能够使学生体验数形结合、类比、归纳、分类以及由特殊到一般的思想方法在解决问题中的应用。例如,北师大版八年级下册“不等式表示的平面区域”的内容,就可以让学生利用图形计算器进行如下探究:在数轴上,x=1表示一个点;在直角坐标系中,x=1表示什么?在数轴上,x 1表示一条射线;在直角坐标系中,x 1表示什么?在直角坐标系中,x+y-2=0表示一条直线;在直角坐标系中,x+y-2>0表示什么?x+y-2<0呢?对于后者可以先做出x+y-2=m的图像,并通过图形计算器的参数设置功能分别就m>0和m<0两种情况进行动态模拟,这样x+y-2>0和 x+y-2<0所表示的平面区域就可以直观地呈现在学生面前。在此基础上让学生进一步探究不等式组所表示的平面区域即水到渠成了!总之,图形计算器的函数与方程的绘图功能和自由设置参数的动画显示功能为学生学习函数、方程、不等式和高中的平面解析几何提供了理想的实验环境与工具。

4.基于计算机的Microsoft student graphing calculator在支持学生数学学习中的最大优势还在于不需要教师提前花费大量宝贵时间制作课件,只要具备计算机环境和掌握图形计算器软件的基本操作,就可以在课堂教学中根据需要随时让学生进行调用,为实现学习目标服务。

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