题目

二次函数的实际应用

学校

佛山市城北中学

教师

杨敏宁

年级

初三

教材

分析

我们前面已经学习二次函数性质与图象，懂得二次函数的三种表示方式，对“何时获得最大利润”的研究，是把实际问题转化为二次函数的数学模型，通过把二次函数化为顶点式后求出最大或最小值，从而解决实际问题。因此本节课的关键就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，即把文字语言转化为数学语言，从而把数学知识运用于实际，并对结果进行解释。因此是应用二次函数知识解决实际问题的部分。为了使学生能灵活运用数学知识解决实际问题，教学的时候要遵循启发式教学原则，设计一系列问题，引导学生探索、交流、发现，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程。

学习任务分析

利用教科书提供的素材，鼓励学生经历观察、猜想、推理等活动，使学生体会分析问题、归纳问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考，表达和交流的能力。

学生

分析

学生的知识技能基础：学生能熟练地从二次函数的顶点式中得出抛物线的顶点坐标；把二次函数的一般式转化成顶点式，再求出顶点坐标；掌握了二次函数列表法、图象法和解析式法的三种表示方式和性质，能根据二次函数的图象，数形结合的回答出二次函数的相关性质。

学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。有一定的分析、归纳、总结的能力，能很好的进行小组合作交流。

三

维

目

标

知识与技能

1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。

2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。

过程与方法

经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。

情感态度与

价值观

1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。

2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

教学

重点

根据实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的知识求出实际问题的最值。

教学

难点

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，把实际问题转化成数学模型。

教师活动

学生活动

设计意图

教

学

过

程

课前小测：

求出下列函数的顶点坐标与最值：

5分钟小测

通过对求顶点坐标的练习，使学生回忆起一般式化顶点式的方法，以及二次函数的基本性质。

问题：

1、二次函数的顶点坐标如何得到？对称轴、最值如何得到？

2、销售额、销售单价与销售量之间有什么等量关系？

3、利润、销售额与成本之间有什么等量关系？

小组讨论、思考、解决问题

使学生复习已知二次函数一般式求出顶点坐标，根据顶点坐标得出函数相关性质。通过小组讨论、交流得出销售问题中的等量关系。

活动：

阅读P64情境，完成推理过程。

帮助学生理解：

销售量=原销售量+增加的销售量

销售额=销售量×单价

利润=销售额－成本

题目里面相关的量全部列出来，用已知与未知量列代数式表示，再代入相关的关系式。

思考自变量的取值范围。

小组讨论，根据题意用代数式表示销售量、销售额、利润。

销售量：

500+200（13.5-x）=3200-200x销售额：

（3200-200x）x=3200x-200x²

利润：

y=3200x-200x²-2.5(3200-200x)

把利润的关系式转换成顶点式，得出最大利润和对应的销售单价。

小组讨论自变量的合理取值范围。(0<x≤13.5)

让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法。

自变量的取值范围要根据实际情况判断它的合理性。

巩固练习：

解决本章开始的“种多少棵橙子树”的问题。（复习列式过程）

设增种橙子树的棵树为x棵，总收获的橙子数为y个。

平均每棵树结橙个数=原橙数－少结橙数

橙子树棵数=原棵数+增加的棵数

橙子总产量=每棵结橙数×橙子树棵数

题目里面相关的量全部列出来，用已知与未知量列代数式表示，再代入相关的关系式。根据题意，注意自变量的取值范围，能解释自变量取值范围如何选取。

根据题目意思，思考自变量的取值范围。

用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系并解决问题。

把题目里面关键的量用代数式表示，理解相关的数量关系，根据数量关系列表达式；作出对应的函数图象，数形结合解决实际问题。进一步明确用二次函数解决实际问题的步骤。

每棵树结橙个数：

600－5x

橙子树棵数：

100+x

橙子总产量：

y=(600-5x)(100+x)

小组讨论自变量取值范围。

(0<x≤20)

学生重复列表达式的过程，可以理顺思路，强化分析题目的能力，以及利用二次函数解决实际问题的步骤。

思考自变量的取值范围，使列出的二次函数表达式更贴近实际，能更好的解释问题。

进一步用图象刻画总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图象解决问题。学生小组讨论过程中感受利用数学模型解决最优化的问题，感受数学的价值。

随堂练习

根据题意把实际问题构建数学模型，列出相关数量与数量之间的关系。

设每件售价x元，总利润为y元

实际销售量=原销售量－减少的销售量

每件商品的利润=售价－进价

总利润=销售量×每件利润

根据题意把相应的量用代数式表示，分步代入关系式。

根据题意得出自变量取值范围。

列出二次函数关系式后，整理转换成顶点式，解决最优化问题。

分析题目，根据题目问题设适当的未知数，根据题意分步列出简单的数量关系，再列出二次函数关系式，转换成顶点式，解决最优化问题。

实际销售量：

400－20（x－30）

每件商品的利润：

x-20

总利润：

y=(x-20)[ 400－20（x－30）]

自变量取值范围：

（x≥30）

分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。

通过前面的练习，对解决实际问题有一定的能力，随堂练习中，通过小组分析、讨论、归纳、总结得出解决问题的数量关系，整理结论后得出正确的函数表达式，解决最优化问题。

小结

本节课学到了什么知识？用二次函数解决实际问题的步骤是什么？在实际问题中如何讨论自变量的取值范围？解决问题的时候能够通过二次函数的什么方式解决问题？

学生自由发言、交流、总结。

让学生总结解题步骤，强化解决问题的步骤，培养学生语言表达能力。

作业

书本P66习题2.7问题解决1、2

第一题增加问题：

（1）利用函数图象描述增加人数与营业额之间的关系

（2）增加多少参团人数，可以使营业额保持在30000以上？

独立完成

通过同类型的问题解决，熟练二次函数知识解决实际问题的解题步骤与方法。

反思

本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。在教学中，要对学生进行适时的引导，如果学生在分析题目的过程中由于相关的量不容易理解而思维混乱，教师要分解题目，列出关键的数量关系帮助学生理解，引导学生把题目里零散的、已知的、未知的量进行整理，代入相应的数量关系式中，通过分解步骤，把实际问题转化成数学模型，因为是实际问题的解决，所以用数学语言表达后，还要考虑函数中自变量的取值范围，这样才能使问题更合理，能更好的用数学模型解决实际问题。教学过程中学生采用小组讨论的形式有利于知识点得到充分的思考与讨论，更容易把课堂提出的问题内化成自身的数学思想，从而掌握本节课的内容，发展学生的数学应用能力。

二次函数的实际应用是二次函数知识的难点部分，是对二次函数知识综合运用的部分，解决问题的过程能向学生渗透初等数学的思想，例如函数思想、数形结合思想以及优化思想。学生在分小组讨论的活动中进一步感受学习数学的价值，或多或少的发展了学生利用数学知识解决问题的能力，开发了学生的智慧。