第一章 三角形的证明  

一、教学目标

1.知识目标：了解作为证明基础的几条公理的内容，熟悉证明的基本步骤和书写格式，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和推论。

2.能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生交流探索证明方法的多样性，提高逻辑思维水平。

3.情感与价值目标：启发引导学生体会合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯。

二、教学重点、难点

重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；

难点：明确推理证明的基本要求并用数学语言准确表达，理解辅助线的形成并掌握方法。

三、教学方法与手段

1．先学后教：布置课前预习任务，让学生通过学案自学对本节内容有个初步的认识；

2．小组合作：通过小组内部的互助交流达到共同提高的目标，提高整个课堂的效率；

3．实物展演：学生课前准备好一张等腰三角形纸片，供上课折叠探索实验用；

4．先进设备：使用电子白板、几何画板等教学工具。

四、教学过程设计

（一）回顾旧知，规范格式

引导学生回顾已经学过的8条基本事实中的5条：

（1）两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

（3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

（5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

活动1：

在此基础上回忆几何的三种语言表示：

公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

在△ABC与△DEF中

∵ AB=DE

　 ∠A=∠D

　 BC=EF

∴△ABC≌△DEF（SAS）

注：以SAS公理为例，ASA、SSS公理则由学生按格式自主完成，并小组核对。

活动目的：对前面学习内容的一个简单梳理，强调数学语言的书写格式，为后续有关证明做了知识准备。

活动2：回忆全等三角形的性质并引出全等三角形的另一判别条件：

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）

已知：如图，∠A=∠D，∠C=∠F， AB=DE。

求证：△ABC≌△DEF.

证明:

∵ ∠A=∠D, ∠C=∠F（已知）

又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠B=∠E（等量代换）

在△ABC与△DEF中

∵ ∠A=∠D （已知）,

AB=DE（已知）,

∠B=∠E （已证）,

∴ △ABC≌△DEF（ASA）.

活动目的：由学生填写已知、求证、以及证明过程。教学中注意提醒学生分析条件和结论，画出简图，进行小组交流讨论，可以让学生进一步加深证明的要求和步骤，进一步规范证明的过程。

（二）折纸活动，探索新知

活动3：提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”

具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以学习小组进行交流，互相弥补不足。

→

→

活动目的：通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，加上老师的几何画板辅助展演，学生基本上都能得到有关等腰三角形的性质定理，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”。

（三）明确结论，证明过程

活动4：汇总各小组的结果，明确以下两条性质：

（1）定理：等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）

（2）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；

小组提供思路，教师给出明晰的证明过程，规范格式，熟练转化几何三种表达。

已知：如图，在△ABC中， AB=AC.

求证：∠B=∠C.

证明：取BC中点D，连接AD.

在△ABD与△ACD中

∵ AB=AC （已知）,

BD=CD （已知）,

AD=AD（公共边）,

∴ △ABD≌△ACD（SSS）.

活动目的：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；同时，鼓励各个小组挖掘不同的辅助线添加方法，从而形成不同的证明思路，力图让学生拓展思维，同时也是一个很好的自我提升。

（四）随堂练习，巩固新知

1、在△ABC中，AB=AC，∠A=50º，则∠B= º,∠C= º.

2、在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60º，则∠A= º.

3、已知等腰三角形的一个内角为50º，则这个等腰三角形的顶角为（ ）

A、50º B、80º C、50º或80º D、40º或65º

4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80º，BC=20

①∵点D为BC的中点，∴∠BAD= º，∠BDA= º

②∵∠BAD=∠CAD，∴∠BDA= º，CD= .

③∵AD⊥BC于点D，∴∠BAD= º，BD= .

5、在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BAD的度数。

目的：巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。

（五）课堂小结，温习知识

本节课证明的定理：

1.三角形全等的判定方法中的推论AAS：

的两个三角形全等。

2．等腰三角形的性质：

①定义：等腰三角形的 相等。

②等腰三角形的性质定理：等腰三角形的 相等。（简称： ）

③等腰三角形的性质定理推论：等腰三角形的 重合。

（简称： ）

（六）布置作业

课本P1习题1.1第2、3、6题.

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