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《三角形的外角》教学设计

金政国 北京市人大附中西山学校

1. 教材分析：

本节课为人教版初一下学期的一节课《三角形的外角》，由学生已经熟悉的三角形的内角和定理引入,然后探索三角形外角的性质。在呈现方式上改变了以往“结论—例题—练习”的陈述模式,而是采用“问题—探究—发现”的研究模式。本课教学以《数学课程标准》理念及建构主义理论为指导，充分关注学生的已有知识和经验基础，尝试让信息技术成为学生学习的资源工具和探究工具，以转变学生的学习方式，促使学生参与、体验概念形成和获得的过程，从中感悟抓住事物本质特征观察的数学思维方法。从而培养学生的创新意识，促使学生信息能力的发展，体现数学学习的价值。

二、教学目标：

• 知识与技能

  • 理解外角的定义并能够识别三角形的外角。

  • 理解三角形外角的性质。

  • 能够用三角形外角性质计算与三角形有关的角的度数。

  • 能够用三角形外角性质解决生活中的实际问题。

• 过程与方法：

  • 在学习外角及外角性质中体会数学中的“转化”思想。

  • 通过三角形外角性质探究的过程培养学生自主探究和小组合作交流的意识。

• 情感、态度与价值观

  • 通过学习，体会信息技术与现实生活及数学知识与现实生活的紧密联系。

  • 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，提高学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯，并形成一定的逻辑思维能力。

三、教学重点

• 三角形外角的识别及外角性质的运用。

四、教学难点

• 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法。并能够迁移到生活中。

5. 学习者特征分析

学生已经适应了一对一数字化环境下的学习，能够熟练运用计算机完成自主探究和小组合作交流的过程，学生课堂上学习的积极性、主动性高，能够创造性进行数学中几何的学习，并进行迁移运用。

六、教学策略

教师主导——学生主体，采用自主探究学习和小组合作的学习方式。

七、教学资源

教材、教师PPT讲稿、一对一数字化环境、探究软件工具Geogebra。

八、教学过程：

活动一：复习引入，新授概念

教师画三角形，带学生一起回顾三角形内角和定理的证明。

学生在Geogebra支持下，自主绘制三角形，并汇报三角形内角和的证明过程。

师：做辅助线的后，ACD与ACB从位置上看有什么关系。

生：邻补角。

师：ACD处于三角形的什么位置，内部还是外部？

生：外部。

教师讲解：象ACD这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

师：三角形ABC中还有哪些外角？

生：延长BA，延长CA等等

设计意图：联系上一节课内容，从学生熟悉的知识引出新知识，既是对上节课重点内容的巩固，又为本节课新授内容做好铺垫。

活动二：提出问题，探究尝试

在学生对三角形外角的概念有了深入的认识后，教师引导学生自主探究三角形外角的性质。于是抛出以下三个问题，启发学生进行思考，并运用工具Geogebra进行探究。

问题1：在三角形ABC中分别度量角A和角B的大小，并且度量角ACD的大小。

问题2：观察角A和角B的和与角ACD有什么关系？

问题3：拖动A点再次观察角A和角B的和与角ACD有什么关系？

师：ACD与A、B的和什么关系

生：ACD等于A和B的和

师：那么ACD和A谁大？ACD和B谁大呢？

生：……

下图为学生运用Geogebra进行探究过程的截图。

设计意图：教师放手让学生自己去操作、思考和探究，在探究之前给出了问题启发引导学生进行思考。 课堂上教师给学生足够的时间完成探究的任务，并且鼓励学生讨论、发言、提出问题，让学生最大限度的发挥自己的潜能，增强自我效能感。

活动三：总结性质，规范证明

通过上一个环节的探究，在教师的引导下，学生归纳得出三角形外角的两个性质：

1、三角形的一个外角等与它相邻的两个内角的和。

2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

教师引导学生回顾活动一中三角形内角和定理的证明方法。

教师提问：我们是否可以不加辅助线来证明？

学生回答教师引导：用等量代换。

教师总结：在证明三角形外角性质时，采用了等量转化，问题的思考点在等量减等量差相等。

学生小组讨论，尝试使用等量代换的思想证明三角形外角的性质，并进行汇报。教师根据学生汇报的情况有针对性的讲解并用PPT演示规范证明过程，包括已知，求证，证明，及规范的文字语言、图形语言和符号语言表达。

下图为教师使用wikispaces展示证明过程的截图。

设计意图：在教师的引导下，让学生学会几何中的一个重要的思想，即：等量代换，并进行实际的证明操作，规范学生使用数学语言进行口头和文字的表达。

活动四：实时练习，及时反馈

以上我们学会了三角形外角的性质和证明方法，现在我们进入抢答网，老师为大家提前生成了一些题目，以检查大家对知识的掌握情况。

判断题：

（1）三角形的一个外角等于两个内角的和

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和

（3）三角形的一个外角大于任何一个内角

（4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角

学生练习，教师对照数据分析讲解。

设计意图：利用抢答网进行实时练习，通过正确率等数据检测学生是否理解了外角的性质。

活动五：例题讲解，讨论解答

例题：已知D为ABC上任意一点

问题1：ADC为哪个三角形的外角?

问题2：若ADC=70, BAC=20,则B=?

问题3：若ADC=70, B=BAD,则B=?

问题4：若ADC=70, B= BAD,AD为ADC的角平分线，求C=?

问题5：ADB是哪个三角形的外角？

例题：问A+B+C+D+E=?

问题1：AC’E是哪个三角形的外角？

AC’E等于哪两个角的和？

问题2：大家进一步想

A+B+C+D+E等于多少？

设计意图：利用例题层层加深对外角的认识，从外角的位置识别到外角的数量推算

难点是如何识别复杂图形的外角，突破点也是此处。

活动六：合作探究，交流创新

学生利用探究工具Geogebra进行探究和交流。

例题：已知：AB平行于CD，AHF＝50,FIC＝45，求HFI？

HFI与AHF和FIC有何种关系？如何做辅助线？（学生小组讨论）

教师继续提问：那么共有多少种方法？（学生讨论）

设计意图：充分运用平行线的性质及三角形内角和定理以及三角形的外角定理。让学生在讨论中思考，在讨论后教师总结提升。

活动七：回顾总结，生活应用

学生和老师一起总结本节课的重点？举例说明在生活中有哪些应用？

小结既是对本节内容的归纳总结，又是对知识内容的系统化、条理化，学生自己做小结，既是对学习内容的复习，又是对语言概括能力的培养。

设计意图：培养学生总结的能力，并培养学生讲数学应用与生活的能力。

教学反思：

本课是在跨越式课题组“教师主导、学生主体”双主教学理念的指导下，充分利用一对一数字化学习环境的优势，进行了层层递进的课堂教学活动的设计，课堂上适时给学生创造机会进行网络环境下的自主探究、协作交流和及时且针对性的反馈。

首先，一对一数字化学习环境为学生提供了很好的自主探究和协作交流的空间，信息技术工具不再仅仅是演示文稿，更多的与课堂内容进行深度的整合，学生自主的参与课堂。

其次，课堂活动的设计层层递进，采用“问题—探究—发现”的研究模式，在教师的引导下，学生进行自主的探究、协作交流，最终将课堂知识迁移到生活中，提高学生解决问题的意识与能力，体会数学的价值，体现教学的发展性，学会“数学地思维”，提高其逻辑思维能力、直觉思维能力，发展数理智能、言语智能、观察智能、人际交流智能、自我认识智能等多元智能。

通过对这节课的设计，我对信息技术与数学学科的整合有了更深层的认识，课堂上要充分发挥信息技术的优势，体现学生的主体地位，提高学生参与课堂的积极性、主动性和创造性。

信息技术工具支持的几何课堂活动设计.doc

信息技术工具支持下的几何课堂活动设计

——《三角形的外角》教学设计的案例点评

丁杰 张小艳

北京师范大学现代教育技术研究所

跨域式课题的中学数学课堂教学要求就是要在科学、有效的教学活动引导下，使学生参与学习活动，在思维数学化的过程中，以自主探索、合作交流的方式获得知识、发展能力。数学课堂活动设计必须要做到流程上环环相扣，内容上层层递进。信息技术工具是实现学生“做数学”的前提条件，探讨信息技术工具的课堂应用对几何课堂教学活动设计有重要作用。结合信息技术工具特点来设计课堂活动，对提高学生参与课堂的积极性、主动性和创造性，以及突破几何教学的重点、难点是十分必要的。

一、初中几何教学难点与问题

“几何”是研究物体的形状、大小和位置关系的学科。掌握几何知识的前提是必须对几何图形有清晰的认识，并在此基础上探究“数”和“形”的关系。目前初中几何教学，由于受教学条件或者教师理念等限制，课堂的深刻性、灵活性、独特性、敏捷性、批判性，没有能够很好的体现出来。对于图形化的教学，学生没有信息技术工具支持的协作和探究。教师还停留在传统的灌输式教学，没有给学生足够的时间进行自主探究，课堂上学生一味的接收知识、反复练习，缺乏趣味，与生活脱节，忽略了学生思维素质的发展。

跨域式课题要求在进行信息技术与课程整合时，必须彻底变革传统的课堂教学结构，从过去的以“教师为中心”的课堂转变为“教师主导和学生主体”课堂。因此教学设计的理念必须由过去的以“以教为中心”转变为“学教并重”。如何在课堂这个切入点上，既能够发挥教师主导作用，又能够体现学生主体地位，课堂教学活动的设计势必成为一个重要的关注点。

二、信息技术工具支持的几何教学特点

1. 生动直观，有效化解重难点

21世纪技能强调要重视培养学生的想象力和创造力，教师要为学生想象力发展创造有利的条件，设计良好的教学活动，实现课堂上学生自主、合作、探究的过程。各种信息技术工具是支持几何课堂教学的有效工具。学生可以根据自己的想象，在几何学习软件的支持下，进行自主的探究。几何学习软件的突出优势在于将原本静止、抽象的几何形状，变得形象、生动和直观，更有利于突破教学中的重难点，学生通过亲自动手操纵，自主探究，更有利于知识意义的自我建构和迁移应用。目前，几何教学中常用的软件有：几何画板、Geogebra等。

下图展示了几何画板工具生动直观的再现几何图形的动态变化以及不同图形之间的位置关系。

2. 动手实践、促进学生数学思维发展

数学课堂活动的核心理念在于“真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。通过活动确立学生在教学过程中的主体地位，让学生享有充分的思想和行动自由，实现学生素质的整体发展。跨越式课题关注学生多种思维能力的发展，在数学教学中强调要在“做中学”，让学生亲自动手实践，将抽象的知识形象直观的展示出来。对于几何教学，这些抽象的形状、变化以及背后的数学知识，借助信息技术工具的支持，通过学生动手实践，都可以清晰直观的进行展示，加深学生对知识的理解，并促进知识进一步的迁移运用。

三、教学活动设计原则

1. 复习导入环节情境有效性

在复习导入的环节，教师设计的活动重在激发学生学习兴趣和帮助教师掌握学情。导入环节起着承上启下的作用，即复习上一堂课的内容，为新授内容的学习做好准备，又在简单、轻松的环境下增强学生学习的自信心。因此，教师要创设有效的学习情境，引导学生走入情境-复习旧知-自然迁移-学习新知。

在金政国老师这堂《三角形的外角》几何课的导入环节中，首先引导学生回顾了三角形的内角和，为进一步引出三角形的外角和学生对外角性质的探究做好铺垫。教师以游戏的形式导入，学生利用软件工具Geogebra自主绘制图形，并汇报三角形内角和证明过程。然后，结合学生对已有知识的掌握和现有认知水平，逐步诱导学生去认识三角形的外角。

师：做辅助线的后，ACD与ACB从位置上看有什么关系。

生：邻补角。

师：ACD处于三角形的什么位置，内部还是外部？

生：外部。

教师讲解：象ACD这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

师：定义中的关键词是什么？三角形中还有多少外角？

学生探究(结合教师对定义的讲解，借助软件做辅助线，找出所有的外角)

2. 自主探究环节的实践性

在自主探究环节，教师要引导学生进行观察和归纳，要给予学生足够的时间、资源和必要的引导，使绝大部分学生都能够发现规律。学生通过自己的动作实践发现数与数、图形与图形、数与图形之间的关系，并形成一定的数学表达式，学生直觉思维和逻辑思维、空间—视觉智能在他们兴趣盎然地探究过程中得到了有效的培养。

在对三角形外角性质进行探究的过程中，金教师抛出以下三个问题，启发学生进行思考，并运用工具Geogebra进行探究。

问题1：在三角形ABC中分别度量角A和角B的大小，并且度量角ACD的大小。

问题2：观察角A和角B的和与角ACD有什么关系？

问题3：拖动A点再次观察角A和角B的和与角ACD有什么关系？

三个问题都具有很强的实践操作性，可以让学生通过自行操作软件、仔细观察来获得答案。通过这样的问题设计，信息技术作为学生思维外化的认知工具。在促进知识理解、发现规律等方面，信息技术工具发挥了不可替代的作用。

3. 反馈环节的及时性与针对性

在教师引导下，学生通过探究、观察获得了数学规律的感性认识，而数学规律还应用数学方法得到验证。比如，几何规律可以通过证明验证，数与代数的规律可以通过验算进行验证。需要指出的是，这里不强调反复的数学验算和几何证明技巧，强调的是学生数学思维的形成，要培养学生数学规律可以观察、发现，也可以用科学的数学证明方法进行验证，而这对于学生学会认知是极为重要的。在反馈环节，教师可以采用多种形式，反馈要做到及时，并且具有针对性。

在《三角形的外角》这堂课上，教师通过问题启发，学生自主探究得到了三角形的外角性质。在观察大部分学生都能够获得到这个规律之后，教师及时总结了三角形的外角性质。并结合复习导入中三角形内角和的证明方法，启发学生运用等量转化的思想进行外角性质的证明。并用PPT演示规范证明过程，包括已知，求证，证明，及规范的文字语言、图形语言和符号语言表达。同时，课堂上教师将需要进行及时反馈的练习题目放在抢答网上，学生进行实时的练习和提交，教师根据学生练习的正确率来把握学生对新授知识的掌握情况，并进行针对性的讲解。

4. 拓展应用环节的层次性

学生将获得的概念或规律应用于解决一些问题，可以是进行一些练习，也可以是解决一些实际问题，如用轴对称概念解决“在河边建一个水电站，使之到两个供电站的距离之和最短”等。此时学生还可以再次使用探究工具解决问题。拓展应用环节题目的设置可以遵从从简单到复杂、从形象到抽象、从课内到课外等，有一定的层次性，学生能够把课内学到的数学知识进行迁移，用于解决现实生活中的问题。

数学知识来源于生活, 又服务于生活。为了让学生更好地理解和掌握数学知识, 提高学生学习数学的兴趣, 应设计贴近学生生活的数学活动。让学生在玩中学, 在乐中学, 从中体会数学思想, 感受数学的价值以及“生活中处处有数学”。从而启发学生要学好数学, 用好数学。

《三角形的外角》的课堂上，教师设计的题目从判断正误入手，把握学生对基本概念的掌握情况；然后是简单三角形和复杂图形中三角形外角的识别和外角和公式的运用；最后结合生活实际，让学生在现实的生活情境中去感悟外角并运用外角和的性质。层层递进，使学生对课堂教学知识有深入的理解并进行实际的运用。

综上，信息技术工具在初中几何教学的课堂活动设计中发挥着重要作用。合理应用信息技术，能更加生动直观的再现知识，为学生动手实践、自主探究和协作交流创设有利条件。教师要更新教学理念，敢于尝试，充分利用信息技术的优势，把握课堂活动设计的原则，设计出真正能够培养学生数学能力的课堂教学活动。

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