兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米。根据题意回答下列问题：
      （1）何时弟弟跑在哥哥前面？
      （2）何时哥哥跑在弟弟前面？
      （3）谁先跑过20米？谁先跑过100米？
      （4）你是怎样求解的？与同伴交流。
        设计意图：以生活情境性问题为驱动，激发学生的探究欲望。

         教师活动：前面我们学习了一元一次方程、一元一次不等式、一次函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、更清晰地认识、描述和把握现实世界。请同学们认真分析上述问题情境，尽量用多种方法来解决这个问题。
        学生活动：自主思考，建立模型，解决问题。
        设计意图：在学生理解问题情境的基础上，引导学生从多种角度将实际问题转化为数学模型，实现数学化，经历建立数学模型的过程。

         教师活动：请同学们展示解决问题的各种不同方法，仔细分析并给以评价。
         学生活动：展示问题的各种解法，并予以评价。
         在学生自主思考、教师启发指导的基础上，最终可以得到问题的三种解法：
解法1：方程法
        设哥哥出发x 秒钟追上弟弟，根据题意可列方程 4x–3y=9，解得：x=9。
        即（1）9秒之前弟弟跑在哥哥的前面。
            （2）由于哥哥的速度较快，9秒之后哥哥跑在弟弟的前面。
            （3）哥哥跑20米所用的时间=20÷4=5；弟弟跑20米所用的时间=（20–9）÷3﹤5，所以弟弟先跑过20米。
用同样的方法可以得出哥哥先跑过100米。
解法2：不等式法
          （1）设哥哥出发x秒钟，弟弟跑在哥哥的前面，根据题意，弟弟所跑的路程﹥哥哥所跑的路程，可得 3x+9﹥4x，解得：x﹤9。即9秒之前弟弟跑在哥哥的前面。 
         （2）设哥哥出发x秒钟，哥哥跑在弟弟的前面，根据题意，哥哥所跑的路程﹥弟弟所跑的路程，可得 4x﹥3x+9，解得：x﹥9。即9秒之后哥哥跑在弟弟的前面。 
         （3）谁先跑过20米、谁先跑过100米，可以用类似上面的方法算出。
解法3：函数法 
          设哥哥所用的时间为x秒，哥哥所跑路程为y1米，弟弟所跑的路程为y2 米，根据题意，可求得函数表达式为：y1=4x，y2=9+3x，于是问题转化为：（1）兄弟俩相遇：y1 =y2；（2）弟弟在哥哥前面：y1﹤ y2；（3）哥哥在弟弟前面：y1 ﹥y2；通过计算x值，即可求出问题的答案。
       设计意图：通过交流反馈，展示学生对同一问题的不同解法，发挥学习共同体的智慧，培养学生多角度思考解决问题的意识和能力。

        教师活动：上面给出了同一问题的三种不同解法，即我们分别通过建立方程模型、不等式模型和函数模型解决了所提出的问题。请同学们仔细观察并思考上述三种解法，看看它们之间有没有内在联系？有怎样的联系？解决上述问题的关键点是什么？问题的实质又是什么？
        学生活动：自主思考，合作交流，回答问题
解决问题的关键是求出哥哥追上弟弟的时间，问题的本质就是哥哥与弟弟在这段时间内所跑过的路程相等。上面的三种模型都可以统一为一个函数模型：y=4x–（9+3x），即兄弟俩所跑过的路程差y是哥哥跑步所用时间x的函数。解法1的方程可以看作函数y=4x–（9+3x）中的自变量x取何值时y=0。解法2的两个不等式可以看作函数y=4x–（9+3x）中的自变量x取何值时y≠0。利用Microsoft student graphing calculator画出函数的图像（图1），观察图像可以直接看出问题的答案。
        设计意图：引导学生通过交流共享，沟通不同解法之间的内在联系，树立函数观点，建立完善的认知结构。Microsoft student graphing calculator的快速作图功能不仅提高了课堂教学效率，而且为学生直观理解三种解法之间的内在联系奠定了基础。

         教师活动：通过上面问题的解决，我们可以发现同一问题可以用三种不同方法来解决，而这三种方法又可以用函数的观点把它们统一起来。那么是否一元一次方程、一元一次不等式的问题都可以转化为相应的函数问题来解决呢？请同学思考下面两个问题有什么关系？
      （1）解方程2x+20=0。
      （2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？
        类似地，下面两个问题又有什么关系？
      （1）解不等式5x+6﹥3x+10。 
      （2）当自变量x为何值时函数y=2x–4的值大于0？
         学生活动：自主思考，回答问题。
         设计意图：上面的生活情境问题可以利用多种方法来解决，并且都可以用函数的观点把它们统一起来。那么是否一元一次方程、一元一次不等式的问题都可以转化为相应的函数问题来解决呢？此处进一步提出两个类比问题，旨在通过问题解决，引导学生发现规律，建构知识体系。

        教师活动：我们可以发现，上面的两组问题中每一组的两个问题实质上同一个问题。由此你可以发现什么规律？请先自主思考，然后小组交流并汇报结果。
        学生活动：自主思考，讨论交流，总结规律，汇报结果。
        由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图像上看，这相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴交点的横坐标的值。同理由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b﹥0或ax+b﹤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
        设计意图：由特殊到一般，由具体到抽象，体验数学再创造的过程。通过具体问题解决来学习，通过问题解决来建构知识，是建构主义教学思想的具体体现。
教师活动：我们已经发现函数、方程、不等式之间既有区别又有联系，那么同学们能否概括出它们之间的联系与区别呢？ 

        学生活动：自主思考，合作交流，归纳概括。
        在同学们自主思考与合作交流的基础上，引导学生概括出下列结论： 
        一次函数、一次方程、一次不等式、一次代数式各概念之间联系框架 特征 模型 方程 不等式 函数 数学描述的价值 瞬间 部分 过程 数学模型的特征 平衡的模型 非平衡的模型 变化的模型
       设计意图：沟通联系，建立体系，深化认识。

        教师活动：请同学们利用函数图像解出x：
      （1）5x-1=2x+5； （2）6x-4﹤3x+2.
        学生活动：将方程、不等式问题转化为相应的函数问题，并画出函数图像（图2）求出x。
        设计意图：通过变式练习，使学生体会图像法解决问题的过程和数形结合的思想。

 
        教师活动：任何一元一次方程、一元一次不等式都能转化为函数问题来解决，那么方程组、不等式组问题是否也能转化为函数问题来解决呢？请尝试利用函数观点解下列方程组，并归纳出图像法解二元一次方程组的方法。
        学生活动：将每个方程转化为一次函数，画出图像（图4），并找出交点坐标。
        一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。由此可见，一次函数与二元一次方程组也有密切的联系。
        设计意图：拓展延伸，进一步建立知识之间的内在联系。

        教师活动：本单元我们从函数观点深入地探索了方程（组）、不等式与函数之间的内在联系，经历了借助函数图像直观地来表示方程的解与不等式的解的过程，这种用动态的观点和数形结合的思想来认识问题的方法，对于继续学习数学很重要。下面请同学们利用所学知识，解决一个生活中的实际问题。
        一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间收费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间收费。如何选择收费方式能使上网者更合算？
        学生活动：自主思考，建立模型，解决问题，反馈交流。
        略解：设上网时间为x分，若按方式A则收y=0.1x元；若按方式B则收y=0.05x+20元。在同一坐标系中分别画出这两个函数图像（图5）。由图像的交点坐标即可解答问题。
        设计意图：完整的数学学习过程本质是问题解决的过程，即从真实情境问题出发，经过水平数学化将情境问题转化为数学问题，通过垂直数学化解决数学问题，并建立知识体系，然后再利用所建构的知识通过水平数学化来解决实际问题，即让学生经历情境问题——数学问题——实际问题这样一个完整的数学学习过程。

        教师活动：通过本单元的学习，你有哪些收获？还能提出哪些问题？ 
        学生活动：学生从思想方法和知识结构等方面小结本单元的学习 ，在反思总结的过程中寻找自身知识结构中的漏洞，并提出新的需要继续探究的问题。 
       设计意图：反思是建构完善认知结构的重要途径，也是发现问题、提出问题，解决问题的前提条件，通过师生、生生之间的反思交流，能够广开思路，进而发现哪些是自己已经思考过的问题，哪些是自己还没有思考过的问题，旨在让学生带着问题走进课堂，带着更多的问题走出课堂。