教师活动：呈现从网上收集了大量的镶嵌图片，引导学生在课堂上进行浏览，观察教室的地砖和墙上的壁砖以及许多用各种材料铺砌而成的美丽的图案（如下图）。教师指出：用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖。这种现象在数学中就叫做平面镶嵌问题。 

学生活动：欣赏图片，进入情境，调动已有生活经验知识。
设计意图：这一环节呈现一些镶嵌图形，从观察生活现象入手，抽象出数学问题——平面镶嵌的问题，让学生初步体验到平面镶嵌图形的美妙，激发了学生的学习兴趣，鼓励学生积极投入到教学活动中来。
教师活动：呈现丰富多彩的镶嵌案例，提出问题。从数学角度去分析，我们所看到的这些图案就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题。那么上面展示的图案有什么特征？你能试着给出平面镶嵌的定义吗？平面镶嵌的条件是什么？哪些平面图形能进行平面镶嵌？
学生活动：观察案例，思考问题，启动思维。
设计意图：通过学生熟悉的生活情境提出问题，激发学生探究欲望。

实验1 用一种正多边形镶嵌成一个平面图案
教师活动：下面请同学们首先从最简单的情形开始探究，请您动手探索如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？并将你自己的实验结果填在下面表格中。
学生活动：利用几何画板，对图形按要求组合，填写下表。同时观察规律得出结论。 

教师活动：教师巡回指导，并展示镶嵌效果图案，在此基础上引导学生总结规律，呈现结论。
学生活动：学生观察上述的实验结果，分组讨论平面镶嵌的条件， 发现问题与多边形的内角大小有密切关系。
教师出示图例，引导学生发现拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°。 

设计意图：数学知识的发生、发展离不开数学实践，其中实验性的数学实践对于学生的数学知识的形成尤为重要。因此我恰当地使用信息技术设计了这样一个动手、动脑的操作实验，让学生在一种浓厚的科学研究气氛中体验数学、发现数学。
当然，经验如果能够上升到理论，就可以更好地指导实践。为此及时地引导学生进行概括，如果一个正多边形可以进行镶嵌，那么内角一定是360°的约数（或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！从而将此问题归结为一个不定方程的正整数解问题，使学生对于用一种正多边形进行平面镶嵌问题的认识由感性上升到理
实验2：用任意三角形或任意四边形镶嵌成一个平面图案
教师活动：呈现问题：用形状、大小完全相同的任意三角形能否镶嵌？用形状、大小完全相同的任意四边形能够镶嵌吗？
学生活动：运用几何画板进行拼图。 

教师重点关注学生能否把不相等的角拼接在一个顶点处，能否把相等的边拼在一起。展示学生作品（包括不能拼出来的学生作品），启发学生找出规律。 在此基础上，教师出示下列镶嵌效果图。 

设计意图：培养学生的操作能力，了解一般的三角形或四边形可以进行平面镶嵌。通过拼图游戏，引起学生的兴趣，同时学生受到表扬，获得成就感，为下一步活动获得必备的知识。
教师活动：在学生动手操作、归纳结论、讨论交流的基础上，引导学生得出结论。
学生活动：自主实验、讨论交流，发现规律。
师生归纳得出多边形平面镶嵌的条件:
①任意三角形、四边形都能够平面镶嵌；
②拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；
③相邻的多边形有公共边。
设计意图：在探究用一个正多边形进行平面镶嵌的基础上，进一步让学生探究用任意三角形或四边形进行平面镶嵌实验，旨在发现平面镶嵌的条件，培养学生动手操作的实践能力和理性归纳能力。
实验3 用两种不同的正多边形进行平面镶嵌
教师活动：呈现问题：请您动手探索以下问题，允许用两种正多边形组合起来镶嵌，由哪两种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？将探索的结果填在下表中。
学生活动：利用几何画板，按要求对图形进行组合，填写表16。同时观察规律得出结论。 


设计意图：学生运用已有的知识对实验结果进行推理分析，把感性认识上升到理性认识的高度，说明了理论来源于实践。此活动为本节课的重点及难点，更加突出利用代数方法来推理论证为什么有这些组合形式，从理论上解决问题，让学生感受方程的知识在几何中的应用，学会说理。
实验4 用三种不同的正多边形进行平面镶嵌
教师活动：请您动手探索以下问题，允许用三种正多边形组合起来镶嵌，由哪三种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？将探索的结果填在下表中。
学生活动：利用几何画板，按要求对图形进行组合，填写下表。同时观察规律得出结论。 

设计意图：后面这个活动主要应用前面的结论和思考方法让学生得出结论，除了动手实验的方法之外，学生也可以采用理论推理的方法来加以说明。
以上两个实验结束后，教师引导学生找出用两或三种正多边形进行平面镶嵌的基本规律，再次使学生对于用两种或三种正多边形进行平面镶嵌的理解由感性上升到理性。
实验5 能否用四种边长相等的不同正多边形进行平面镶嵌，为什么？
教师活动：呈现问题：能否用四种边长相等的不同正多边形进行平面镶嵌，为什么？同时给学生下表： 

学生活动：有些学生还是用几何画板进行验证，而有的同学则运用以上所学规律，直接得出结论：同一顶点处不能由四种不同正多边形进行平面镶嵌。
理由：选取内角最小的四种正多边形求内角和得：
60°+90°+108°+120°= 378°＞ 360°
设计意图：在进行实验1时，学生在动手操作中就存在一定的盲目性，但由于问题较为简单，因而也能较快地得到答案。但对于实验2、3、4、5，如果只是碰运气地乱试一通，是很难得到较多结论的，这就迫使学生在动手的同时还要动脑，思考应当如何恰当地组合几种正多边形，才能进行平面镶嵌。

总结平面镶嵌的定义、规律，并从数学推理的角度说明上述结论。 
 

任务：利用镶嵌知识为2008年的奥运会进行场馆设计
活动1：作品欣赏，开拓思维 

活动2：发挥想象，自由创作
教师活动：展示几组其它平面镶嵌的图形，扩展学生视野，然后要求学生独立设计一份平面镶嵌的图案，教师先个别辅导，再集中欣赏学生的作品.
学生活动：利用几何画板，运用本课所学，发挥想象力进行镶嵌创作。 

设计意图：对所学内容进行应用，复习巩固已学知识，学生学会小结反思。同时让学生获得学有所用的成就感，激发学生的想象创造能力，培养学生的审美意识。
活动3：拓展阅读，课外延伸
资料1：石子路镶嵌图案最多的图林
在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园子石子上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。
资料2：镶嵌画
以大小不同的彩石、玻璃料器、金属等硬质片料拼嵌而成的图画。一般用于装饰建筑物的墙面、天花板或地面。镶嵌画历史悠久，最早见于公元前4000余年的美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌画以其色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性而得以在世界上绵延流传。公元1～4世纪，镶嵌画得到很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的《伊苏之战》、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时期的艺术珍品，在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大和新颖的技艺而著称，由平面镶嵌发展到在高低浮雕上再加镶嵌，丰富了镶嵌艺术的表现形式。
中国的镶嵌艺术具有悠久的历史和独特的风格。这些镶嵌艺术大多出现在工艺品上，如殷商时代的铜器曾有错金和错金嵌玉的装饰纹样出现。镶嵌画虽较少，仍可以从帝王御花园的甬道和民间的建筑中发现用卵石镶嵌地面和墙面的镶嵌装饰画面。当代中国艺术家也开始重视运用这种艺术形式，在一些重要建筑物的室内外创作了一些镶嵌画。
镶嵌画材料来源十分丰富，有天然彩石、卵石、贝壳、螺钿、宝石、玉石和人造的玻璃料器、陶瓷、有机玻璃、金属和木料等。镶嵌方法有直接镶嵌法、预制法、反贴反上法、正贴正上法。除平面镶嵌外，也可以在浮雕上进行镶嵌，后者更能增强壁画的力度。片料的拼嵌既可以采取装饰性的有规律的排列，也可以采取无规律的自由排列。镶嵌细工在运用色彩能力上要求很高，因为每个色域都是由无数色彩点子成分构成，每一块片料代表一定的色调，为此，镶嵌时每一种色彩成分都要经过斟酌和选择。高明的镶嵌细工艺术家能用补色创造出许多不同的效果。镶嵌画具有其他壁画所没有的坚固、耐潮湿、耐晒而不变色的优点，硬质片料的质感与量感以及镶嵌工艺产生的形、色、光的效果，使镶嵌画在色、质、量感方面显得粗犷浑厚，色彩斑斓。
资料3：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解
有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。 

设计意图：为了让学生对平面镶嵌有更进一步的体会，提供相关资料，供学有余力的学生课外阅读。

由于受到课堂时间的限制，学生大都无法将以上三个表格填写完整，因此布置学生在课后进一步完善以上的三个表格，找出其中的一些规律，并就此次探究性活动谈一谈自己的体会。
设计意图：让学生带着疑问走进课堂，带着更多更高层次的疑问离开课堂，激发学生进一步探究的欲望。从学生课后作业的反馈情况来看，是达到了这一目的的。许多学生都深入地思考了这一问题，得到了很多教师事先都没有想到的结论。