案例名称：余数知识解决周期问题

案例背景：“几个一组重复排列”“根据位置判断颜色/形状”“用有余数除法解决周期问题”“余几对应第几个、没有余数看最后一个”等等，课本内容大多以图文习题呈现在学生面前，但是抽象的规律和算式逻辑是隐性的，平面化的例题与练习不利于现在这些以直观形象思维为主的学生对算理和规律的理解。因此，通过自主先学、合作探究的形式来开展规律探究与建模学习，将数学知识进行运用和再现，加深对学习内容的理解。

案例正文：

（一）自主先学，差异诊断

课前一天，通过先学单布置六项递进式先学任务，形成“联想—感知—猜想—验证—建模—创造”的完整认知链，为认知发展搭建阶梯。

（二）合作共生，资源转化

经过课前自主先学和认知诊断，教师已清晰把握每个学生的思维起点。进入课堂，引导学生在合作探究中共享学习资源，将个体差异转化为集体进步的动力。

1.点燃好奇心，激发想象力。课始，展示学生自主先学时产生的极具代表性的问题。比如“排列的位置怎样与余数联系起来”“没有余数怎么办”等。

2.第一次合作学习，找准排列规律。（1）同桌合作。按提示语“和 ，个一组，重复出现”，说一说每组图形的排列规律。（2）“错题门诊”。让学生当“小医生”，给排列规律找错的同学诊断“病因”，突出找准排列规律在解决问题时的重要性。

3.第二次合作学习，突破“余几”重点。（1）小组合作。请学生结合先学任务，说说自己的猜想—“第面小旗是黄色 /红色”，并说明是如何验证的。（2）画图法验证。全班展示画图法，请使用该方法的学生当“小先生”讲解。（3）“错题门诊”。请学生诊断验证时的“规律识别错误”，在批判性辨析中发展逻辑严谨性。（4）余数法验证。请使用余数法的学生当“小先生”讲解，并适时追问算式中每个数代表的含义，帮助其他学生掌握余数法。

4.我是“发现者”，攻克“余0”难点。（1）发现提炼。引导学生发现总结余数法中的数学规律，包括：先看图形是几个一组，每组几个除数就是几，余几就看每组第几个，没有余数就看最后一个。课堂上邀请学生分享自己的“大发现”。（2）例题巩固。结合教材例题进一步巩固“余0”这一特殊情况的知识点，让学生学以致用。

5.我是“命题人”，掌握“除以几”变式。课件呈现一名学生在先学单中的自主命题，让学生在练习单相应的方格里列式解答，然后由命题人点名回答，激发学生学习自主性

6.我是“裁判员”，方法比较提升反思力。用画图法和余数法解决一些简单的排列问题后，请学生比较这两种方法—更喜欢哪一种？原因是什么？

7.我是“探索家”，逆向反推排列结构。课件呈现一个神秘人发来的邮件：□÷5=□……4，最后一个图案是●，你知道这些图形是怎样排列的吗？请学生以小组为单位，到各组“阵地”（竖立的白板）前讨论、解答。各组可形成不同的排列方式，进一步训练学生思维，激发创造力。

（三）归纳构建，思维进阶

通过多元互动，学生深化了对余数法的理解。此时需要将零散的认知串联起来，在归纳构建中完成从知识掌握到思维进阶的跨越。

1.归纳“知识树”。课堂总结：这节课学习了用余数的知识解决排列问题，首先要找准规律，列出除法算式，再根据“余几找第几，无余找最后”得出答案。请学生回看课前自己画的“知识树”，用不同颜色的笔进行修改和完善。“知识树”的完善过程，是对“合作共生”环节中各种零散知识的系统整合。

2.再当“设计师”。课后请学生自己设计一道趣味题，择优纳入课堂练习题库，提升学生学习成就感。

（四）反思评价，学力提升

当知识体系初步建立后，让学生通过反思评价回顾学习过程，实现从“学会”到“会学”的升华。课后让学生从能遵守课堂纪律、能认真倾听思考、愿意参加讨论、敢于质疑和表达等维度进行自我星级评价。

资料来源：宣建.个性化学习如何助力小初衔接的思维进阶——以“余数知识解决周期问题”教学为例[J].人民教育,2025,(Z3):64-65.