抛物线的简单几何性质

目标：

［知识与技能］

ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。.

ⅱ 抛物线的通径及画法。

［过程与方法］

ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。

ⅱ 掌握抛物线的画法。

［情感态度与价值观］

ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。

ⅱ 训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。

重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

难点：是抛物线各个知识点的灵活应用.

教学方法及手段

1. 教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力，本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索、发现问题、分析问题和解决问题的能力。注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一。
2. 利用计算机多媒体课件辅助教学，让学生通过多媒体的演示，对比椭圆和双曲线的几何特点，从而找到抛物线的几何性质。这样将抽象概念生动、直观地通过多媒体课件展示出来，从视觉上刺激学生，激发学生探索的兴趣。

教学过程：

一、创设情境，引入课题

唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。引出下面两个问题：

问题1：如果测量得酒杯杯口宽4cm，杯深8cm，试求出该抛物线方程？

问题2：若酒杯中酒面的宽度为2cm，若再往酒杯中倒酒，使得酒面上升6cm，问酒会不会从杯中溢出?

带着问题引出这节课的标题：抛物线的简单几何性质

二、温故知新

下面以抛物线 y2 = 2px (p>0)为例研究抛物线的几何性质：在研究之前，回忆我们学过的椭圆及双曲线的简单几何性质，以表格的形式给出，给予学生更加强烈的对比，进而总结研究抛物线的哪些几何性质

三、探索新知

通过类比如何求椭圆及双曲线的简单几何性质，用同样方法（由曲线的标准方程去研究曲线的几何性质）让学生去研究抛物线的几何性质：

1、取值范围：  x>0,y∈R

2、对称性：关于x轴对称

抛物线的对称轴叫做抛物线的轴

1. 顶点：（0，0）

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。

4、离心率：e=1

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。

让学生思考：问一：椭圆的圆扁程度、双曲线的张口大小由e的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？引出抛物线第五个性质：

5、通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径。|AB|=2p

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.

问二：抛物线方程中的p对图形有影响吗？

此处用几何画板演示p即通径对抛物线的开口大小有影响。

最后，请学生完善上述表格，写出抛物线y² = 2px (p>0)的几何性质。

老师进行归纳:

        (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

        (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

        (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；“四有二无”

        (4)、抛物线的离心率是确定的，为１,

         ⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.

再次请学生用类比的方法写出其他三种抛物线的几何性质

运用几何性质解决创设情境中的问题，增加学生的成就感。

四、典例精析

例1：已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2,-2),求它的标准方程,并用描点法画出图形.

变式：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-2), ,求它的标准方程.

五、归纳总结：

1. 抛物线只位于半个平面坐标内，虽然他可以无限延伸但他没有渐近线。
2. 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心
3. 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线
4. 抛物线的离心率是确定的且为1

5）、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大