教学基本信息

课题

7.7.1 余角、补角

学科

数学

学段

7——9年级

年级

初一

相关

领域

图形与几何

教材

书名： 北京市义务教育教科书数学七年级下

出版社： 北京出版社 出版日期：2013年12月

教学目标(含重、难点)

知识与目标：理解互余、互补的概念，并学会求一个角的余角和补角。

掌握余和补角的性质，并能用它解决相关问题。

过程与方法：通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化。初步接触和体会演绎推理的方法和表述，进一步提高学生的抽象概括能力，识图能力，发展空间观念。

情感与态度：积极参与教学活动，在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

教学重点：理解互余、互补的概念及其性质。

教学难点： 通过简单的推理归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言表达。

教学过程

教学

环节

教学内容

学生活动

教学意图

创

设

情

景

，

引

出

新

知

探

索

新

知

，

例

题

导

学

探

索

新

知

，

例

题

导

学

探

索

新

知

，

例

题

导

学

探

索

新

知

，

例

题

导

学

探

索

新

知

，

例

题

导

学

课

堂

小

结

能

力

提

升

问题：如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.这个问题可以简单地表示为右图.其中∠EDC=90º，那么各个角与∠1有什么关系？

设问：

（1） 观察图形，找出图中小于180°的角。

（2）这些角任意组合相加，你发现了哪些特点？

引出定义：

像上述具有特殊数量关系的两种角，就是我们今天学习的主要内容：余角、补角。

一、余角、补角定义

互为余角：如果两个角的和等于90º ，那么称这两个角互为余角；

图形语言：

符号语言：∵∠1+∠2=90°

∴∠1与∠2互为余角

（互余定义）

反过来：∵∠1与∠2互为余角

∴∠1+∠2=90°（互余定义）

（∠1+∠2=90°可以写成：

∠1 = 90°—∠2）

互为补角:如果两个角的和等于180º ，那么称这两个角互为余角；

图形语言：

符号语言：∵∠1+∠2=180°

∴∠1与∠2互为补角

（互补定义）

反过来：∵∠1与∠2互为补角

∴∠1+∠2=180°（互补定义）

（∠1+∠2=180°可以写成：

∠1 = 180°—∠2）

问：

（1）定义中的“互为”是什么意思？

（2）把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图，这两角还是互为补角吗？

练习：1.哪些角互为余角？ 哪些角互为补角？

2.填空

①一个角为60°,则它的余角为_____ ; ②一个锐角为X，则它的余角为_____; ③一个角为60°，则它的补角为_____;

④一个角为X，则它的补角为______.

例1：已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。

解：设这个角为x°，那么它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x) °，则

180-x=4(90-x)

解得x=60

答：这个角是60^o。

练习：

1.一个角的补角是它的3倍，求这个角。

2.已知两个角的度数比是2:7，且它们互余,求这两个角。

拓展应用：

如图,两堵墙围一个角∠AOB，但人不能进入围墙，我们如何去测这个角的大小呢？

二、余角和补角的性质

合作探究

你能试画出图中∠1的余角和补角吗?

讨论内容：

（1）上图中，∠2与∠3是什么关系？为什么？

（2）下图中，∠4与∠5是什么关系？为什么？

猜想： 同角的余角相等；

同角的补角相等。

证明：同角的余角相等：

已知：∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，

求证：∠1=∠3

证明：（填空形式）

∵∠1与∠2互余
∴∠2+∠1=90°

∵∠2与∠3互余

∴∠2+∠3=90°

∴________________
∴________________

∴________________

思考：

（1）如图，∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，若∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

（2）如图，∠1和∠2互补，∠3和∠4互补，若∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

余角和补角的性质：

同角（等角）的余角相等；

同角（等角）的补角相等。

符号语言：

∵ ∠1+ ∠ 2= 90⁰

∠ 1+∠ 3 = 90⁰

∴ ∠ 2 = ∠ 3

（同角的余角相等）

符号语言：

∵ ∠1+ ∠ 2= 90⁰

∠ 3+ ∠ 4 = 90⁰

又∵ ∠ 1 = ∠ 3

∴ ∠ 2 = ∠ 4

（等角的余角相等）

强调：文字语言、图形语言和符号语言的相互转化。

例2： 如图,∠1和∠2互余，∠3和∠4互余,且∠2=∠4，∠1=60°，求∠3的度数。

练习：1.如图，已知∠AOC= ∠BOD

=90⁰ ，指出图中还有哪些角相等，并说明理由。

这节课你有哪些收获？

知识上：互余、互补概念及其性质（图形、文字、符号语言）。

方法上：

类比；

归纳→猜想→证明的研究方法；

运用代数方法解决几何问题。

提高题：如图A、O、 B在同一直线上,

∠AOC= ∠DOE=90°，若∠1＝2∠4，求∠2的度数。

审题、观察，得出余角、补角的定义。

预设:有些角相加等于90°有些角相加等于180°。如：

(1)∠ADC+∠1=90°

(2)∠BDC+∠1=90°

(3)∠ADF+∠1=180°

(4)∠BDE+∠1=180°

学生自主总结定义的符号语言

探究归纳：

（1）补角与余角是两个角之间的相互关系

（2）补角与余角与角的位置无关，只与它的数量有关

观察、回答问题：

1.互为余角的有：

∠1和∠ADC ；

∠2和∠BDC；

∠1和∠BDC；

∠2和∠ADC .

互为补角的有：

∠1和∠ADF；

∠2和∠BDE；

∠1和∠BDE；

∠2和∠ADF.

2. 30°；90°-x；

120°；180°-x。

审题，思考，表达思路

学生自主书写，个别学生白板书写，学生讲解锻炼表达。

自主思考，解决实际问题。

先独立思考，然后小组交流讨论，最后白板展示小组讨论成果。

预设成果：

得出猜想

同角的补角相等（类比证明同角的余角相等，自主证明）

小组讨论，得出结论，口述证明过程

归纳余角和补角的性质；

师生共同讨论符号语言的书写。

口述同角（等角）的补角相等的符号语言。

思考，分析，口述过程

解：∵ ∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余

∴∠1+∠2=90°

∠3+∠4=90°

∵∠2=∠4

∴∠1=∠3

（等角的余角相等）

∵∠1=60°

∴∠3=60° （等量代换）

学生自主完成，个别同学白板书写，学生讲解。

学生畅谈收获与体会

审题，思考，说思路。

以创设情景的形式引入，激发学生探究新知的好奇心。

培养学生通过观察、思考，归纳出角之间具有的特殊数量关系。提高学生分析问题的能力。

通过填写符号语言的形式巩固互余、互补定义。

观察图形变换的过程，初步体会运动中的两个角的互补关系。

保证新知巩固的及时性。

通过练习的第二题，学会求一个角的余角和补角，落实基础。

角是几何图形，解决几何问题可以运用代数方法来解决。

渗透“见比设参”的方法，会用方程思想求一个角的余角和补角。

通过拓展应用，活跃学生的思维活动，运用所学的新知解决实际问题。提高学生分析问题、解决问题的能力。

通过动手实践，合作学习，培养学生体会通过操作、观察得到猜想，在进行证明验证猜想的准确性的研究方法。学会多角度思考问题，培养合作学习的良好习惯。

培养学生能够运用类比已学的旧知识解决新问题。

让学生在总结的过程中体会符号语言的简洁与优美。让学生在举一反三中培养他们应用符号语言逻辑推理的能力。

初步掌握文字语言、图形语言与符号语言之间的相互转化。

初步接触和体会演绎推理的方法和表述，规范书写。进一步提高学生的分析能力，识图能力，发展空间观念。

通过练习，巩固余角、补角的性质，锻炼运用标准的数学语言表达，规范书写。

培养学生归纳总结的能力

在时间允许的情况下，通过提高题，提升学生分析解决较难问题的能力，锻炼克服困难的意志。