数与代数、空间与图形这两类学习内容根据数学学科的特点，分为概念、规律两大类，有关概念和规律的教学以情景探究、反思建构为其主要教学模式，统计与概率、实践与综合应用则以问题解决为其主要教学模式。下面就从教学模式的理论依据、目标、条件、程序和评价五个要素详细阐述每一种教学模式。由于前面已经对信息技术环境下的数学教学模式的主要理论基础已作过全面阐述，因此下面有关理论依据的阐述只涉及跟具体模式相关的其他补充理论。

        基本概念的学习是数学学习的基础。在数学学习中，数学概念的学习毫无疑问是重中之重，概念不清，一切无从谈起。然而长期以来，数学概念教学大量存在“重结论，轻过程”的现象，不少教师忽视数学概念的形成过程，只是强调将新的数学概念灌输给学生，强调让学生接受并记忆这些数学概念，并试图用反复的题海战术来巩固数学概念，这种教学没有体现学生的主体性，影响学生正确数学观的形成，阻碍了学生数学思维的发展。因此，要改变概念的教学有必要先来考察概念教学的本质。

        所谓概念，是指代表清晰的并能详细说明和确定的一整套必要的与充分的属性的符号（引自《布鲁纳教育论蓍选》，1989），其正例证均属于既定的概念范畴，而反例均不属于该范畴。根据布鲁纳的研究，概念具有名称、属性、例证、定义等四个要素。概念的学习包含概念形成和概念获得，概念形成是概念获得的前提。传统数学教学正是忽略了概念的形成过程，由教师代替学生思考，而本文的概念形成——获得教学模式则提出要让学生亲历概念的形成过程，由学生自己“发现”概念属性、定义过程中获得概念，建构概念的意义。数学概念的形成——获得教学模式是在参考乔以斯（B.Joyce）和韦尔（M.Well）的“概念获得模式”和塔巴（Hilda Taba）的“概念发展教学模式”的基础上提出的，它以布鲁纳有关概念教学的理论和塔巴（Hilda Taba）有关思维的观点为理论依据。塔巴认为，思维是可教的，思维是以个人以能动的方式处理资料的活动，思维可按一定顺序有规律地演进。但是塔巴所提出的“思维是可教的”，并不是指以直接的方式进行旨在发展思维、培养思维能力的教学，而是主张在教学过程中，为学生提供与材料接触并对材料进行认知加工的可能性，进而促进学生的复杂思维。由此可见，概念形成——获得教学模式的目标是让学生形成正确的概念、了解概念的含义以及通过参与和反思概念化的过程，提高学生观察能力、分析和概括的数学思维能力，培养学生的形象思维、直觉思维和逻辑思维，并在交流和学习反思过程中，培养学生的表达能力、合作能力以及自我认识能力。

        概念的形成——获得教学模式一般包括以下七个步骤，如图所示。

图 概念的形成——获得教学模式

        （1）情景导入，呈现例子

        情景导入的目的是激发学生的学习兴趣，建立学习的心理倾向。所创设的情景一定要与要新学习的概念有关，可以是与概念相关的生活实例、资料，可以是一些例子，也可以是用以明示该概念与其它概念关系（上位、下位、并列组合）的先行组织者等。在概念学习之前，教师要向学生阐明本课的目的是通过寻找其本质属性界定某一概念。在学生明确了本课的学习任务之后，教师将一些肯定性例子（具备概念所有属性的例子）和否定性例子（不具备或不完全具备概念属性的例子）呈现给学生。这些例子可以由教师选择，也可以由学生平时收集所得，或者是由教师和学生共同形成。低年级教学可以采用教师选择的方式，当学生的自主学习能力比较强，而且具备了平时收集学习材料的意识和习惯后，尤其是高年级学生，可以采用学生提供的方法。

        （2）分组归类，概括属性

        学生根据自己已有的知识和经验，将相似的例子归为一类。教师可以通过提问“你为什么将他们分在一起”鼓励学生说出归类的理由，找出一类例子的共同属性。因此，呈现的例子要具备典型的概念属性，教师在呈现例子的时候也要考虑学生的分析能力，如果是低年级的学生或学生的分析能力不够强，也可以先呈现肯定性例子，让学生提取其中的共同属性，然后呈现否定性例子，剔除非本质属性，引起学生对本质属性的注意，加强对本质属性的认识。在学生归类和提取属性的时候，由于其已有知识和经验以及对概念理解的差异，学生的分类和属性概括可能不尽相同，甚至可能与教师所希望的完全不同，此时教师应注意认可这种差异性，而不应将此视为错误而立即加以纠正或否认。在这个环节，主要是使学生通过观察找出事物的属性（形象思维和逻辑思维的培养），并且从纷繁复杂的事物属性中快速抓住事物的本质特征（直觉思维和逻辑思维的培养）。

        （3）协作讨论，提出假设

        当学生把所有的属性都罗列出来后，教师可以组织学生共享自己的学习成果。学生可以利用多媒体网络的讨论区或留言板等发表自己的观点，也可以通过贴纸条的方式在黑板上列出自己的属性内容。为避免信息太过繁杂，也可以先让学生在小组内共享，然后全班共享。学生可以对其他小组成员的分类、属性进行评价，对不同的意见可以形成争论。在讨论过程中，学生不仅要用数学语言陈述自己的观点，力争用适当的理由为自己辩护，还要倾听小组成员的意见，试图去理解他人的观点，遇上不同的意见可能会进行“争辩”，甚至可能会重新考虑自己的分组和归纳的属性，努力去达成小组一致意见，这样学生不仅加深了对所学内容的理解，而且他们的直觉思维与逻辑思维、语言智能、协作意识和能力也得到了一定的发展。一旦分组和属性确定下来后，教师应要求学生给这组例子取一个名称，思考如何用这些属性来表述这个名称。这个过程对于学生进一步形成概念和逻辑思维的训练非常重要，教师不要急于把自己预想的结论告诉学生，这样会阻碍学生思维能力的发展，也不要对任何学生的观点进行评价，要鼓励他们多思考、多说。当然，教师可以通过提问“为什么”来促进学生的思维，鼓励学生朝着“为什么”、“按什么标准归类”的方向思考。

       （4）呈现例证，确定属性

        此时，同样呈现一些肯定性和否定性的例子，让学生用自己提出的假设对这些例子判断是否所有的肯定性例子都能归到概念组中、概念是否已包含了所有的本质属性，必要时可以将一些属性添加到概念中。为了进一步发展学生的思维，可以鼓励学生小组讨论，自己找出新例证加入到概念组中，并解释新例证的意义与已有例证之间的关系，最后全班共享，一个小组在汇报过程中，其他小组的学生可以积极参与讨论，发表自己的意见并补充自己的例证。这个阶段要让学生充分交流各自的观点，教师也可以加入到讨论中。

        （5）计算证明，检验假设

        数学是一门非常严谨的学科。要形成科学的数学概念，仅仅靠直觉判断获得数学概念、规律是不够的，还需要科学的、严密的数学证明。当学生将属性确定下来后，教师要鼓励学生利用计算、证明等方法来验证所确定的属性。需要指出的是，这个阶段重在培养学生正确的数学学习方法，而不是证明、计算的技巧，因此不宜搞题海战术，应鼓励学生用验算、几何工具等方法进行检验，如教学案例1中学生用“三角板”验证图形属性的正确与否。

        （6）概括总结，形成概念

        教师展示、再现全体学生提出的概念属性和概念假设，要求学生共同提取该概念所包含的所有本质属性，用简练的语言概括出概念，然后再现概念的规范表述，以达到知识意义的建构和逻辑思维的培养，这一阶段，也要鼓励学生用多种方法来表征概念，如各式图表、概念网络图等，促进学生直觉思维和空间——视觉智能的培养。

        （7）应用概念，巩固理解

        可以呈现一些比较复杂的例子，让学生应用概念进行分类，也可以让学生自己举出一些符合该概念的例子，加深他们对概念的理解。

        （8）反思学习，自评迁移

        教师可以用问题来激励学生回忆、反思、讨论自己概念化的过程，如“请回忆一下你们得出这一定义的过程，你们是怎么确定其主要特征的”、“我是不是已经很清楚这个概念了？我能不能向同学清楚地解释这个概念并用例子来说明它？”、“我会不会用同样的方法来学习其它的数学知识呢？”，从而提高其思维能力和自我评价能力。

        在上述过程中信息技术的作用以及教师和学生在过程中的活动可用下表来概括。

表 概念的归纳——获得教学模式中信息技术的作用和师生活动

        这种教学模式适合于学习那些具有明确属性的概念，如有（无）理数、方程、等式、图形的认识等，也可以用于学习代数运算法则，如合并多项式、合并同类项等，对信息技术的要求不高，有大屏幕投影设备和一台计算机的教室基本满足教学条件（讨论可以口头进行，分类、提出假设可用纸代替），但是在教学前，教师必须选择并准备好具有典型属性特征的肯定性和否定性例子以及一些复杂的、似是而非的例子，而且在教学过程中要充分给予学生思考的空间和时间。教学的效果可以用判断、举例的方法来评价学生是否已理解、获得了该概念。