金政国 北京市人大附中西山学校

本节课为人教版初一下学期的一节课《三角形的外角》，由学生已经熟悉的三角形的内角和定理引入,然后探索三角形外角的性质。在呈现方式上改变了以往“结论—例题—练习”的陈述模式,而是采用“问题—探究—发现”的研究模式。本课教学以《数学课程标准》理念及建构主义理论为指导，充分关注学生的已有知识和经验基础，尝试让信息技术成为学生学习的资源工具和探究工具，以转变学生的学习方式，促使学生参与、体验概念形成和获得的过程，从中感悟抓住事物本质特征观察的数学思维方法。从而培养学生的创新意识，促使学生信息能力的发展，体现数学学习的价值。

• 知识与技能

  • • 理解外角的定义并能够识别三角形的外角。

    • 理解三角形外角的性质。

    • 能够用三角形外角性质计算与三角形有关的角的度数。

    • 能够用三角形外角性质解决生活中的实际问题。

• 过程与方法：

  • 在学习外角及外角性质中体会数学中的“转化”思想。

  • 通过三角形外角性质探究的过程培养学生自主探究和小组合作交流的意识。

• 情感、态度与价值观

  • 通过学习，体会信息技术与现实生活及数学知识与现实生活的紧密联系。

  • 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，提高学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯，并形成一定的逻辑思维能力。

• 三角形外角的识别及外角性质的运用。

• 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法。并能够迁移到生活中。

学生已经适应了一对一数字化环境下的学习，能够熟练运用计算机完成自主探究和小组合作交流的过程，学生课堂上学习的积极性、主动性高，能够创造性进行数学中几何的学习，并进行迁移运用。

教师主导——学生主体，采用自主探究学习和小组合作的学习方式。

教材、教师PPT讲稿、一对一数字化环境、探究软件工具Geogebra。

活动一：复习引入，新授概念

教师画三角形，带学生一起回顾三角形内角和定理的证明。

学生在Geogebra支持下，自主绘制三角形，并汇报三角形内角和的证明过程。

师：做辅助线的后，ACD与ACB从位置上看有什么关系。

生：邻补角。

师：ACD处于三角形的什么位置，内部还是外部？

生：外部。

教师讲解：象ACD这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

师：三角形ABC中还有哪些外角？

生：延长BA，延长CA等等

设计意图：联系上一节课内容，从学生熟悉的知识引出新知识，既是对上节课重点内容的巩固，又为本节课新授内容做好铺垫。

活动二：提出问题，探究尝试

在学生对三角形外角的概念有了深入的认识后，教师引导学生自主探究三角形外角的性质。于是抛出以下三个问题，启发学生进行思考，并运用工具Geogebra进行探究。

问题1：在三角形ABC中分别度量角A和角B的大小，并且度量角ACD的大小。

问题2：观察角A和角B的和与角ACD有什么关系？

问题3：拖动A点再次观察角A和角B的和与角ACD有什么关系？

师：ACD与A、B的和什么关系

生：ACD等于A和B的和

师：那么ACD和A谁大？ACD和B谁大呢？

生：……

下图为学生运用Geogebra进行探究过程的截图。

设计意图：教师放手让学生自己去操作、思考和探究，在探究之前给出了问题启发引导学生进行思考。 课堂上教师给学生足够的时间完成探究的任务，并且鼓励学生讨论、发言、提出问题，让学生最大限度的发挥自己的潜能，增强自我效能感。

活动三：总结性质，规范证明

通过上一个环节的探究，在教师的引导下，学生归纳得出三角形外角的两个性质：

1、三角形的一个外角等与它相邻的两个内角的和。

2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

教师引导学生回顾活动一中三角形内角和定理的证明方法。

教师提问：我们是否可以不加辅助线来证明？

学生回答教师引导：用等量代换。

教师总结：在证明三角形外角性质时，采用了等量转化，问题的思考点在等量减等量差相等。

学生小组讨论，尝试使用等量代换的思想证明三角形外角的性质，并进行汇报。教师根据学生汇报的情况有针对性的讲解并用PPT演示规范证明过程，包括已知，求证，证明，及规范的文字语言、图形语言和符号语言表达。

下图为教师使用wikispaces展示证明过程的截图。

设计意图：在教师的引导下，让学生学会几何中的一个重要的思想，即：等量代换，并进行实际的证明操作，规范学生使用数学语言进行口头和文字的表达。

活动四：实时练习，及时反馈

以上我们学会了三角形外角的性质和证明方法，现在我们进入抢答网，老师为大家提前生成了一些题目，以检查大家对知识的掌握情况。

判断题：

（1）三角形的一个外角等于两个内角的和

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和

（3）三角形的一个外角大于任何一个内角

（4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角

学生练习，教师对照数据分析讲解。

设计意图：利用抢答网进行实时练习，通过正确率等数据检测学生是否理解了外角的性质。

活动五：例题讲解，讨论解答

例题：已知D为ABC上任意一点

问题1：ADC为哪个三角形的外角?

问题2：若ADC=70, BAC=20,则B=?

问题3：若ADC=70, B=BAD,则B=?

问题4：若ADC=70, B= BAD,AD为ADC的角平分线，求C=?

问题5：ADB是哪个三角形的外角？

例题：问A+B+C+D+E=?

问题1：AC’E是哪个三角形的外角？

AC’E等于哪两个角的和？

问题2：大家进一步想

A+B+C+D+E等于多少？

设计意图：利用例题层层加深对外角的认识，从外角的位置识别到外角的数量推算

难点是如何识别复杂图形的外角，突破点也是此处。

活动六：合作探究，交流创新

学生利用探究工具Geogebra进行探究和交流。

例题：已知：AB平行于CD，AHF＝50,FIC＝45，求HFI？

HFI与AHF和FIC有何种关系？如何做辅助线？（学生小组讨论）

教师继续提问：那么共有多少种方法？（学生讨论）

设计意图：充分运用平行线的性质及三角形内角和定理以及三角形的外角定理。让学生在讨论中思考，在讨论后教师总结提升。

活动七：回顾总结，生活应用

学生和老师一起总结本节课的重点？举例说明在生活中有哪些应用？

小结既是对本节内容的归纳总结，又是对知识内容的系统化、条理化，学生自己做小结，既是对学习内容的复习，又是对语言概括能力的培养。

设计意图：培养学生总结的能力，并培养学生讲数学应用与生活的能力。

本课是在跨越式课题组“教师主导、学生主体”双主教学理念的指导下，充分利用一对一数字化学习环境的优势，进行了层层递进的课堂教学活动的设计，课堂上适时给学生创造机会进行网络环境下的自主探究、协作交流和及时且针对性的反馈。

首先，一对一数字化学习环境为学生提供了很好的自主探究和协作交流的空间，信息技术工具不再仅仅是演示文稿，更多的与课堂内容进行深度的整合，学生自主的参与课堂。

其次，课堂活动的设计层层递进，采用“问题—探究—发现”的研究模式，在教师的引导下，学生进行自主的探究、协作交流，最终将课堂知识迁移到生活中，提高学生解决问题的意识与能力，体会数学的价值，体现教学的发展性，学会“数学地思维”，提高其逻辑思维能力、直觉思维能力，发展数理智能、言语智能、观察智能、人际交流智能、自我认识智能等多元智能。

通过对这节课的设计，我对信息技术与数学学科的整合有了更深层的认识，课堂上要充分发挥信息技术的优势，体现学生的主体地位，提高学生参与课堂的积极性、主动性和创造性。