——以《等腰梯形的性质》为例探讨《数学画板》的应用

王琳¹ 张兴强² 孙圆媛³

（1,2河南省洛阳市第45中学 3北京师范大学现代教育技术研究所）

联系方式：13523610281 Email: wylwl8868@yahoo.com

本节课主要是对等腰梯形的性质进行探索，通过对等腰梯形性质的找寻、分析与论证，培养学生猜测、动手实验、合情推理及几何证明的能力，给学生创造动手实践、自主探索、合作交流的平台，并借此培养和锻炼学生的实践能力、思维能力和解决问题的能力及合作学习的精神。另外，通过对日常生活中的实例进行分析，抽象出数学知识，以此来激发学生学习数学的兴趣。

1.知识与技能

了解梯形、等腰梯形的有关概念，探寻等腰梯形的对称性，掌握并证明等腰梯形的两个重要性质。

2.过程与方法

1．通过观察、猜想、实验、推理等数学活动，发现和找寻等腰梯形的对称性及性质，培养和发展学生的推理能力、动手操作能力、几何论证能力。

2．培养学生化归的思想、添加辅助线的能力。

3.情感态度与价值观

通过对等腰梯形性质的探索过程，体验利用手持式图形计算设备充当数学认知工具的乐趣，感受平面几何图形的美，丰富学生从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力及创新意识。

教学重点：梯形的有关概念及等腰梯形的性质的探究和证明。

教学难点：添加辅助线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题等。

学生的知识技能基础：学生对梯形的概念及对称性已经有所了解和掌握，并且已经学习和掌握了平行四边形的性质和判定、轴对称等知识，并具备了一定地推理、证明能力，为接下来的学习奠定了知识、技能和能力基础。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用《数学画板》探索验证数学结论的活动，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。

多媒体投影、多媒体课件、《数学画板》软件。

（一）结合实际, 创设情境，引入新知：

教师活动：1、观察一组图片，在图中有你熟悉的图形吗？多媒体课件引入。

（二）动手研究，合作学习，探究新知：

1、教师活动：（观察大屏幕，用《数学画板》演示梯形的课件）提问：能不能给梯形下一个定义？

学生活动：（回答）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

2、教师活动：(结合《数学画板》中的课件)让学生直观认识梯形中的有关元素：上底、下底，腰、高。

教师给出梯形的相关定义：

梯形中平行的两边叫梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，上、下底是以平行两边的长短来区分的，而不是指两边的位置。

不平行的两边叫梯形的腰。

夹在两底间的垂线段叫梯形的高。

在上图中，梯形中ABCD中，AD∥BC，上底是AD，下底是BC，腰是AB、CD，线段AE是梯形ABCD的高。

特殊的梯形：

3、教师活动：（提出要求）通过移动梯形的某个顶点，看上、下底的长短的变化，找出你认为的特殊的梯形？

学生活动：动手操作数学画板，通过实验找寻相关结论。

四边形ABCD的AD∥BC，且AB＝CD。

在下图中，四边形ABCD的AD∥BC，且CD⊥BC。

请你给这两个特殊的梯形命名。(等腰梯形和直角梯形)

4、教师活动：（看资料）风筝大家都放过，放风筝是一项很有意义的体育活动，但是用风筝发电估计你是第一次听说。据英国《卫报》报道，荷兰代尔夫特工业大学的科学家最近将一只面积为10平方米的风筝放入高空，另一端拴在一个发电机上。并成功从风中捕获能源，产生了10千瓦的电力，可以满足10户家人使用。研究人员已经计划试验他们制造的一个能产生50千瓦特电流的更大的风筝，被称作“梯形电站”，最终他们将建一个由众多风筝组成的能产生100兆瓦特电流的梯形电站，产生的能量足够10万个用户使用。

荷兰科学家用巨型风筝捕获高空风能

（教师提出问题：）小明同学看了以后，很受鼓舞，也想做一个类似的梯形风筝（见下图），同学们，不知大家有没有做风筝的经验？要想使梯形风筝平稳飞升，在做梯形风筝时应该注意的主要问题是什么？

学生活动：（思考后回答）风筝要对称、等腰、合谐，才能飞地平稳。（点明：等腰且对称，这样的梯形一定是等腰梯形，所以等腰梯形一定是轴对称图形。）

教师活动：既然等腰梯形是轴对称图形，那么对称轴在哪里？

学生活动：动手操作数学画板，验证并表达结论：等腰梯形是轴对称图形，上、下底中点的连线所在直线是对称轴。

5、教师活动：等腰梯形除了（轴）对称性，还有哪些性质？然后把得到的“猜想”写下来。请每个小组的同学先独自思考，然后交流，相互补充，自我完善，最后代表发言。

学生活动：猜测对应线段、对应角的关系及相关结论，动手操作数学画板，验证并表达结论。

经过同学们的积极动手操作和归纳小结后，得到了许多的猜想，如：

①等腰梯形的两腰相等，两底平行；（由定义可知）

②对应的角相等；（教师总结为：同一底边上的两个角相等）

③两条对角线相等；

④过上底两个端点作等腰梯形的高相等；

……

（

设计意图：通过教师的引导，学生自己动手实验，培养学生对图形的认知能力和发现问题、分析问题的能力。通过对图形的仔细观察，经历猜想、实验的过程，体验到了获得成功的喜悦。

三）分析论证，掌握方法，提高能力:

教师活动：对上面的猜测给予证明。

证明：②等腰梯形同一底边上的两个角相等。

1、教师活动：引导学生提出一般步骤：即先画图、写已知求证、再分析证明。

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，求证：∠A=∠D，

∠B=∠C。

2、教师活动：让学生思考讨论：证明两个角相等的思路和方法。

学生活动：（思考后回答）

①在两个全等三角形中，对应角相等；②在三角形中，等边对等角；③平行四边形的对角相等；④两直线平行，同位角相等；⑤两直线平行，内错角相等；⑥等量代换；……

3

设计意图：学法指导，培养和发展学生的思维能力，使知识和能力同步增长。

、教师活动：在上面铺垫的基础上，接着再让学生讨论交流，从而确定下面的证明思路：

一是把两个角转化到同一个三角形中，用“等边对等角”证明；

二是把两个角放到两个三角形中，用“全等三角形的对应角相等”证明；

从这两种思路引导学生探究得出三种添加辅助线的方法，如下图：有

4、教师活动：第二种方法，作高法，让学生自己证明并口述。

5、教师活动：③④让学生通过讨论探究后完成，口答证明思路即可。

6、教师活动：归纳这节课学习的等腰梯形的重要性质：

①等腰梯形是轴对称图形，上、下底中点的连线所在直线是对称轴；

②等腰梯形同一底边上的两个角相等；

③等腰梯形的两条对角线相等。

7、教师活动：对等腰梯形添加辅助线的方法还有很多，提醒同学们下去以后可以自己去研究。（可找学生回答：其思想是，把梯形问题转化为我们熟知的四边形问题和三角形问题）

（四）例题讲解，拓展思维，启发思路:

例题：延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD，相交于点E，求证△EBC和△EAD是等腰三角形。

证明：学生自己做，完成后找学生叙述。

（五）课堂小结，科学归纳：学生互相交流总结这节课的体会，重新回顾所学知识点及其在应用方面的一些技巧。

1. 学生回顾本课教学内容，相互交流一下感受；

2、学生小结，教师视具体情况给予提示：性质（从边、角、对角线、对称性等角度总结）、解题方法（化梯形问题为三角形及平行四边形问题）、梯形中辅助线的添加方法。

新课程的标准中倡导：“数学应面向全体学生，实现‘人人学有价值的数学’，‘人人都能获得必需的数学’，不同的人在数学上得到不同程度的发展的‘大众化数学’的理念”。为了实现这一目标，教师首先要转变教育理念、更新师生关系、立足创新、改进教学方法，实现教师的角色转换，另一方面也要改变学生学习方式，让学生在观察中学习数学，在情景中体验数学，培养学生主动探究的意识和发现问题、分析问题、解决问题的能力。

在本文中，结合笔者几年的教学实践和使用诺亚舟手持式学习机中的《数学画板》教授《等腰梯形的性质》一课，并结合新课程标准进行深入反思：

1.重视创设问题情境

新课程标准明确指出：“数学教学应该为学生提供有趣的、丰富的问题情境，创设与学生生活环境、知识背景密切相关的又使学生感兴趣的问题情境，使学生感到数学就在自己身边，让学生在现实情境中体验和理解数学，体会到学习数学的乐趣，和数学的价值。”因此，教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、贴近现实的问题情境，良好的问题情境是学生创新思维得以迅速萌芽的肥沃土壤。

就等腰梯形而言，在小学时，学生对等腰梯形及轴对称性质等都有了一定地认识，但本节课对轴对称性的教学有了更高地要求，如何从生活背景中引入等腰梯形对称性的原型，成为笔者认真思考的问题之一，从多个生活原型中，笔者确定了风筝这一常见事物为例。因为很多同学都有放风筝的经验，如何能使梯形风筝飞地高、飞地远呢？学生肯定知道要对称、要和谐，对称性的问题迎刃而解，其它的性质也都脱颖而出。

首先，等腰梯形是轴对称图形，那么对称轴在哪里？让学生通过《数学画板》去猜想、验证。然后，提出：等腰梯形除了轴对称性，还有哪些性质？利用《数学画板》动手操作，猜测对应线段、对应角的关系及相关结论，并把得到的“猜想”写出来。这样，通过教师的引导，学生自己动手实验，培养了对图形的认知能力和发现问题、分析问题及解决问题的能力。可见，重视创设适宜的问题情境，重现知识的形成过程，巧妙地打开学生的思维闸门，是培养和发展学生创新思维能力的行之有效的方法。

2.注重体验性学习，培养自主探究能力

新课程标准指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。这就要求我们教师处理好学生“自学”与“探究”的关系，引导学生由原来单纯接受书本知识的模仿学习转变为对所学内容的主动探究、积极实践的开放性学习，并在这样的学习活动中逐步构建起自己的数学知识和有效的学习策略。

这里面实际上有两个主要的问题：⑴问题的设置：在教学过程中必须精心设计问题，既要紧扣学生的已有经验，又要引发学生的思考和探索的兴趣，而不能把问题设为简单地验证这样肤浅地层面上；⑵学具的使用：在这里《数学画板》就是笔者使用的主要学具。这节课中，我们不仅要研究等腰梯形的对称性，还要研究其它的一些性质。笔者在本节课中的设计如下：课上设置的问题是：猜测对应线段、对应角的关系及相关结论，动手操作数学画板，验证并表达结论。学生通过自己地研究，得到了许多的猜想，如：①等腰梯形的两腰相等，两底平行；（由定义可知）；②对应的角相等；（教师总结为：同一底边上的两个角相等）；③两条对角线相等； ④过上底两个端点作等腰梯形的高相等；……

通过教师的引导，学生自己动手实验，培养学生对图形的认知能力和发现问题、分析问题的能力。通过对图形的仔细观察，经历猜想、实验的过程，体验到了获得成功的喜悦。所以，注重体验性学习，使得数学学习更有情趣，课堂充满活力。

3.关注思维过程，尊重个性发展

课程标准指出：“应尊重每一个学生的个性特征，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题。”在教学过程中应该允许学生联系生活经验探索不同的算法，相互交流、比较、创造新的算法，算法多样化的实质是希望每个学生能独立思考，拿出体现自己个性的解决问题的方法，从其本质上来讲就是启示我们要尊重学生的个性。只要是学生自己开动脑筋想出来的方法，对于学生来说就是好方法，教师不要急于评价，要引导学生通过小组之间的反馈、交流、评价、沟通，求同存异，让学生体验学习别人思维的成果，让学生在选择中找到最适合自己的算法。这就要求我们在实际解题过程中要尽量一题多解，体现出算法地多样性，以证明等腰梯形同一底边上的两个角相等，这一命题为例。

首先让学生思考讨论：证明两个角相等的思路和方法。学生思考后回答：①在两个全等三角形中，对应角相等；②在三角形中，等边对等角；③平行四边形的对角相等；④两直线平行，同位角相等；⑤两直线平行，内错角相等； ⑥等量代换；……证明地思想一下就打开了，再让学生讨论交流，从而确定下面的证明思路： 一是把两个角转化到同一个三角形中，用“等边对等角”证明； 二是把两个角放到两个三角形中，用“全等三角形的对应角相等”证明。从这两种思路引导学生探究得出三种添加辅助线的方法，从而问题得证。通过这道例题地讲解，启发了学生思路，鼓励学生力求解决问题方法的多样化和学习方式的个性化，做到既着眼于共同发展，又关注到个性差异。让学生独立思考与分组研究相结合，强调人人参与的同时又倡导同学之间合作的团队精神。

4.总结

新课程的“三维目标”：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，三维目标是一个密切联系的有机整体，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。

1.对知识与技能的教学，要根据教学目标、学生的认知特点和心理规律，来梳理整合教材内容，选择和配置教学教具，设计和优化教学过程，而《数学画板》的使用，使得教师对教材的创新更加得心应手，更好地做到“教学思路创新、教学问题创新、教学过程创新、教学手段创新”，以自己创新的劳动感染学生，从而取得良好的课堂效果。

2.在知识的教授过程中，要注意多进行交流与合作，课堂教学是交流的过程，没有交流的课堂是沉闷的、无效的，课堂教学也是合作的过程，没有合作的课堂是单调的。要重视和关注师生之间、生生之间的交流与合作，如果学生没有经过自主的“思维的碰撞、争论”的经历，所学的知识也就难以真正理解和掌握，课堂上要把主动权交给学生，让学生探究科学的思维空间得到释放，学生的学习积极性得到激发，在这种平等的合作关系中，学生能够迸发出创新思维的火花，当然学生的思维能力和创新也就得到了很好的培养，长此以往，学生也就能够逐步从学会走向会学。

3.情感，不仅指学习兴趣、动机、热情，还包含内心体验和心灵世界的丰富；态度，不仅指学习态度和责任，更包含乐观的生活态度、求实的科学态度、宽容的人生态度；价值观，要明确个人价值与社会价值的统一、科学价值与人文价值的统一，从而激发学生对真善美的追求。

在教学过程中，“三维目标”是立体的、横向的，也就是说，在授课过程的任一剖面中，或在授课过程中的任一幅照片中，都应该有“三维”的元素在里面，或者有如我们数学中学过的“三视图”，虽说有“三”，实为一个整体，描述的是同一个事物。就本节课而言，首先通过观看幻灯片创设情境，让学生感悟到梯形在生活中的广泛应用，激发学生的好奇心和求知欲。其次，让学生借助《数学画板》作为认知工具，经历实验、分析验证的过程，增强学生内心体验地过程，培养学生求实的科学态度，让学生自己找出梯形的分类，这对学生知识地理解和掌握有很大的帮助。第三，由生活实例引出梯形的性质，让学生体会到数学就在身边，数学的内容来自于人类日益丰富、不断提高的生产活动和社会活动，数学和现实生活是密不可分的，以此来激发学生强烈的好奇心和求知欲，丰富学生的心灵世界，这对学生科学价值观地形成是有很大帮助的。第四，提倡自主、合作、探究学习，给学生体验和领悟的机会，引导学生理解知识的意义，形成积极的学习态度和正确的价值观。

本课以生活中的实例为原型，创设情境，通过将风筝这一现实生活原型抽象成数学中的几何图形，将数学学习与生活实际紧密的联系起来，引发学生的学习兴趣，引导学生认识数学建模的方法。新授过程中，教师设计了4个活动，通过让学生参与、交际、表达、交流，体现了知识与能力并重，体现新课改理念；探究环节在注重学生对知识的获取基础上，更要注重对学生思维能力的培养，学习新知识能力的培养，图形计算功能在这方面会发挥很大的作用。对于等腰梯形的各个性质，学生用学习机的动态演示过程，用比较严密的逻辑推理来验证“数”——“形”、“形”——“数”的关系，完成从“猜想——探究——论证”的理性认识。技术的应用取决于教育新课程理念，本课中，教师对于新课程“以学生为中心”的理念有较为深刻的理解，通过图形计算器的使用培养学生喜欢数学，培养学生的思维能力、分析能力、解决问题能力，培养学生高级思维能力、动手操作能力，提高学生的认知水平，增强学生对知识变化表达的内化理解，培养学生合作学习能力，内化知识，培养独立思考能力。

点评人：孙圆媛